Démonstration d'une limite

[Florix]

Bonjour,

Je suis élève en prépa commerce et j'ai colle de maths mardi, seulement voilà, y'a une démonstration que je comprends pas :

Comment démontre t'on que (2^n) / (n!) tend vers 0 en plus l'infini ?

Mon prof emploie le théorème des gendarmes :

(2^n) / (n!) = 2 * 2 * 2 * 2 (n fois) / 1 * 2 * ... * (n-1) * n

De cela, il conclue directement, et c'est bien ça le problème ! Comment arrive t'il à cela :

0 < (2^n) / (n!) < (4/2)*(2/n) ???????????

Ca vient d'ou le (4/2)*(2/n) ????

Parce qu'ensuite c'est facile de conclure avec le théorème des gendarmes, mais je comprends pas d'ou vient le (4/2)*(2/n) !

Merci d'avance pour vos réponses

[yos]

Découpe la fraction 2*2*2*...*2/1*2*3*...n en n fractions. La première vaut 2, les n-2 suivantes sont inférieure (ou égale) à 1, et la derniére est 2/n.
La fraction est donc majorée par 4/n.
Comme minorant on prends 0 bien sur.