Démonstration de la limite d'une suite

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Echo
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Démonstration de la limite d'une suite

par Echo » 16 Mar 2020, 18:37

Bonjour,
Je suis en train de travailler sur la démonstration de la limite d'une suite u(n), telle qu'on nous donne un énoncé du type : "Montrer que u(n) = 1/n tend vers 0".
Je pense comprendre le raisonnement, dans lequel on se sert de la caractérisation, puis de la propriété d'Archimède, mais j'ai du mal à comprendre comment, si notre énoncé de base est erroné, on peut se rendre compte que 1/n ne tend pas vers 1 par exemple... J'ai essayé avec cet exemple, et je trouve simplement qu'il faut que : n >= 1/(E-1) (je n'arrive pas à me servir de l'éditeur d'équations désolé). Peut-être un problème avec le fait que pour epsilon = 1, on tombe sur une division par zéro ?

Merci de votre aide !

PS : Si la méthode dont je parle n'est pas spécialement évidente, je pourrai évidemment la détailler.



Skullkid
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Re: Démonstration de la limite d'une suite

par Skullkid » 16 Mar 2020, 20:36

Bonjour,

Si j'ai bien compris tu as essayé de calquer la démonstration de "1/n tend vers 0" pour essayer de prouver que 1/n tend vers 1 et tu n'arrives pas à voir où ça coince dans la nouvelle démonstration, c'est bien ça ?

Pour montrer que 1/n tend vers 1 tu dois, pour tout , trouver un entier à partir duquel est systématiquement vraie. Quand cette inégalité ne pose aucun souci, mais quand tu dois satisfaire pour des entiers n arbitrairement grands, ce que tu risques d'avoir du mal à faire.

Echo
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Re: Démonstration de la limite d'une suite

par Echo » 17 Mar 2020, 16:08

Skullkid a écrit:Bonjour,

Si j'ai bien compris tu as essayé de calquer la démonstration de "1/n tend vers 0" pour essayer de prouver que 1/n tend vers 1 et tu n'arrives pas à voir où ça coince dans la nouvelle démonstration, c'est bien ça ?

Pour montrer que 1/n tend vers 1 tu dois, pour tout , trouver un entier à partir duquel est systématiquement vraie. Quand cette inégalité ne pose aucun souci, mais quand tu dois satisfaire pour des entiers n arbitrairement grands, ce que tu risques d'avoir du mal à faire.


Oui, c'est exactement ce que je cherchais à faire.

En voyant votre correction, j'ai repris la question du début, et en fait je me rends compte que j'ai fait une erreur dès le début en simplifiant l'expression |u(n) - l|. Je m'explique :



Et si je ne dis pas de bêtise, je ne vois pas de manière de se débarasser de la valeur absolue au numérateur. Et je ne sais pas spécialement résoudre une équation avec une valeur absolue (à moins que je puisse l'enlever). Enfin bref, tout ça pour dire que j'étais déjà mal parti.

Cependant, en partant du principe que vos résultats sont bons, je pense avoir compris le raisonnement qui en découle ; corrigez-moi si je me trompe :

1er cas : Car comme 1-epsilon < 0, le sens de l'inégalité s'inverse.
Donc, dans ce cas, l'inégalité est vraie pour tout n entier naturel, puisque cela revient à dire qu'il faut que n soit supérieur à un nombre négatif (ce qui est toujours le cas)

2nd cas : Car comme 1-epsilon > 0, le sens de l'inégalité est conservé.
Donc, dans ce cas, le sens de l'inégalité nous dit que, peut importe la valeur de notre epsilon et de notre n, il y aura forcément un rang n où

Quoiqu'il en soit, merci de votre réponse !

EDIT : Petite question subsidiaire : Est-ce que le fait que ne soit pas facilement simplifiable est censé m'indiquer que ce n'est probablement pas la bonne limite que j'ai choisie ?

Skullkid
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Re: Démonstration de la limite d'une suite

par Skullkid » 18 Mar 2020, 02:34

n doit être supérieur à 1 pour que tu puisses parler de 1/n donc |1-n| = n-1 et et ensuite c'est comme tu l'as écrit. De façon générale, comme tu t'intéresses à une limite en l'infini, tu peux toujours ajouter une hypothèse de la forme n > A, avec A une constante, si ça t'arrange pour les calculs.

Sinon pour ton édit, je sais pas trop quoi répondre, je suis pas sûr de pouvoir considérer que soit fondamentalement moins simple que ... Mais disons qu'en pratique, la définition de la limite ça sert soit à démontrer les limites élémentaires, soit à démontrer les théorèmes généraux (du genre la limite de la somme est la somme des limites) que tu utiliseras ensuite justement pour ne plus avoir à manipuler la définition. Du coup quand tu es amené à utiliser la définition dans un exercice, les choses sont censées bien se passer.

 

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