Démonstration d'un théorème (L3)

[zouz]

Bonjour, je dois démontrer un théorème grâce a des questions intermédiaires. J'ai quelques difficultés donc si quelqu'un pouvait m'aider, cela serait sympa. Pour 3 et 4, j'ai tout développé mais à chaque fois je n'arrive pas à conclure.
Merci d'avance.

Théorème : Soit C un sous-ensemble convexe fermé non vide R^d. Pour tout x ;) R^d, il existe un unique y ;) C tel que dist(x,C) = ||x-y||
De plus, on a : qqsoit z ;) C, (x-y|z-y) <=0
Rq : Par définition, la distance de x à C est dist(x,C) = inf ||x-z||
Le point y est appelé projeté de x sur C.

1. Montrer qu'il existe une suite (y(n)) , n ;) N inclus dans C bornée telle que ||y(n)-x|| -> dist(x,C) (quand n->infini)

2. Montrer que (y(n)) a une sous-suite convergente, de limite l ;) C et que ||x-l|| = dist(x,C)

3. Montrer que, pour tout z ;) C et tout t ;) [0,1], on a
||x-((1-t)l+tz)||^2 >= ||x-l||^2

4. En étudiant l'inégalité ci-dessus pour t proche de 0, en déduire qqsoit y ;) C, (x-l|z-l) <= 0

5. Montrer l'unicité du point y dans le théorème.

6. Cas où C est un sous-espace vectoriel de R^d. Montrer qu'alors, qqsoit z ;) C, (x-l|z-l) = 0.

[yos]

Tu peux écrire ainsi le résultat de la question 3 :
.
En développant, il vient .
Et on simplifie par t puis on fait tendre t vers 0.

[zouz]

Merci bien. Je me suis compliquée la vie en développant. Comme ça, c'est immédiat. Si quelqu'un a des idées pour les autres questions, elles seront les bienvenues.

[fahr451]

5)

en prenant z et L deux solutions on a

=<0 car L sol et
=< 0 car z sol d'où
=<0 et en additionnant

< x-L+z-x/ z-L> =<0

soit < z-L/z-L>=< à donc z-L = 0 et z = L unicité

[zouz]

Encore merci. Pour le 3, j'ai voulu montrer que ||x-((1-t)l+tz)||^2 - ||x-l||^2 >= 0
Après avoir tout développé, j'obtiens
2t[(x|l) - (x|z)] + t^2||l||^2 + 2t (1-t)(l|z) + t^2||z||^2.
Je sais que les 4 derniers termes sont positifs mais pour le premier, je suis coincée.
Avec la même idée que pour la question 4, on doit montrer que
t||z-l||^2 - 2[(x-l|z-l)] >= 0 mais là aussi je suis bloquée.
La réponse est peut-être devant mes yeux mais je ne la vois pas et je tourne en rond.

[fahr451]

le 3 découle de la définition de L

L réalise le minimum de ll x - u ll pour u dans C

or pour z dans C C étant convexe u = tz +(1-t)L est dans C


donc ll x - u ll > = ll x -L ll et on élève au carré

[zouz]

Je ne comprends pas cette phrase :

L réalise le minimum de ll x - u ll pour u dans C

[fahr451]

c est la question 2...

d(x,L) = inf d(x,z) pour z dans C

[zouz]

Merci, j'ai compris. J'avais omis cet indice.