Demonstration du théorème des valeurs intérmediaire par dich

[RoMz34]

Bonjour,

avant de commencer je souhaite remercier Bony pour son aide lors de mon précédents DM à ce lien pour éviter d'actualiser ce dernier .

Voici donc un nouveau DM, j'ai beaucoup avancé, il est tiré du CAPES 2011. Voici l'énoncé (je met tout d'un coup).

///////////////// DEBUT DE l'ENONCE /////////////////////

[B]Problème : d'après Capes 2011

Soit f une fonction à valeurs réelles définie sur un intervalle I (non vide et non réduit à un point) de .
On dit que f possède la propriété des valeurs intermédiaires lorsque pour tout tel que a \lambda[/TEX] alors et sinon

1) Démontrer par récurrence que :
2) Montrer que pour tout entier naturel n :
3) Montrer que les suites sont adjacentes.
4) Conclure sur l'existence d'un c convenable.


B) Etude de la réciproque du théorème des valeurs intermédiaire :

On considère la fonction f définie sur

5) Montrer que f est continue sur
6) Montrer que f n'est pas continue en 0
7) Montrer qu'il n'y a pas de valeur possible de f(0) qui donne f continue en 0.

8) on veut maintenant montrer que f possède la propriété des valeurs intermédiaires : pour cela on considère




j'ai fait de même pour le cas (sauf qu'on encadre b(n+1) à la fin)

On a donc bien
puis conclusion


2) assez simple (pas besoin de l'écrire je pense ^^, que des soustraction, il faut juste faire les deux cas).

3) Donc, je démontre d'abord .

(Cf. question précédente)
Donc,
Donc,
si on continue jusqu’à n, on fini par avoir :


Je pense que c'est mal démontré pour cette partie, quelqu'un peut-il m'indiquer une bonne rédaction ?

Ensuite, sachant que a et b sont des réels, a - b = réel. Donc,
on a bien .


On démontre maintenant que l'une est croissante et l'autre décroissante.

Cas
-->
et on a démontrer que

Donc,

Elles sont bien adjacentes.


4) Je bloque à cette question. Peut-être parles-t-on de c tel que f(c) = 0 vue qu'il s'agit d'une dichotomie ... J'avoue que je ne voit pas ou on veut en venir.



Ensuite, partie B)

5) La c'est du blabla (qu'on nous a appris à bien rédiger) donc c'est bon.

6) Les lim en 0 de sin(1/x) sont équivalentes aux lim de 1/x (au voisinage de 0) donc -oo et +oo (a gauche et a droite). Du coup, ça ne peut pas être continue en 0.

7) la j'ai vraiment l'impression d'y avoir répondu dans la 6, je n'ai pas la rédaction pour cette question, un théorème ? une rédaction type pour ce genre de question ? ( vu que les lim à droite et à gauche ne sont pas finie ... et en plus différentes ...)

8.1) Et bien, f étant continue sur alors, on peut appliquer le théorème pour tout . c existe bien, tel que f(c) = lambda.
Je ne suis pas sûr que l'on attende ça comme réponse ... (je ne suis pas sûr d'avoir compris la question).

8.2) Je travail encore sur la question, (je fait l'étude de la fonction, mais c'est un peu compliqué ne connaissant pas b ...)


Voila en espérant un peu d'aide au niveau de la rédaction (dans la 3 et la 7) et quelques indices à la résolution de la 4 et 8.2 ^^.
Merci

[Doraki]

L'énoncé est incomplet
Je pense que dans la partie A ils ont oublié de faire l'hypothèse que f(b) <= f(a).
(c'est pas une hypothèse très grave à faire)

Je pense que c'est mal démontré pour cette partie, quelqu'un peut-il m'indiquer une bonne rédaction ?

Tu devrais pouvoir montrer ce que tu viens de "mal démontrer" par récurrence sur n.

4) Je bloque à cette question.

Fais un dessin avec les suites que tu obtiens (avec f(b)<=f(a))

Peut-être parles-t-on de c tel que f(c) = vue qu'il s'agit d'une dichotomie ... J'avoue que je ne voit pas ou on veut en venir.

Oui on te demande d'expliquer pourquoi grâce aux suites an et bn, dont tu viens de montrer qu'elles sont adjacentes, permet d'obtenir un réel c dans [a;b] tel que f(c)=;).
Normalement ton cours de terminale doit etre en train de te hurler un théorème sur les suites adjacentes.

6) Les lim en 0 de sin(1/x) sont équivalentes aux lim de 1/x (au voisinage de 0) donc -oo et +oo (a gauche et a droite).

Faux, tes deux limites n'ont rien à voir. Fais un dessin

[RoMz34]

Bonjour, et merci pour ces quelques indications.

Effectivement, j'ai vérifié, l'énoncé ne stipule pas f(a) 0, \exist \epsilon > 0, |x - a| |f(x) - l | < \epsilon [/TEX] et il me semble qu'on avait démontré dans le cours (je m'y référerais mais si vous avez quelques indices pour que je le retrouve, il fallait prendre epsilon = une valeur particulière :/).

Sinon, on peut prendre la suite et quand on regarde les limites de sin(Un), on se rend compte que si n pair la lim en 0 = 0 et si n est impair, la lim est égale a -1 ou 1 donc les deux limites étant différentes, on peut en conclure que f(x) = sin(1/x) n'est pas continue (je ne suis pas du tout sûr de ce que j'avance ^^).

[Doraki]

l'énoncé ne stipule pas f(a) < f(b).

Le problème c'est pas qu'il ne stipule pas f(a) < f(b) (ce qui ne veut pas dire qu'il stipule qu'on a pas f(a)<f(b)) mais qu'il ne stipule pas f(b) <= f(a).
Enfin bon tu peux pas faire la 4 sans supposer f(b) <= f(a).

il faudrait que l'on me donne cette équation.
Je peut dire "la suite semble avoir ce comportement, donc cherchons à le démontrer le par récurrence ?

Oui, il faut être créatif en maths. Le premier type qui a utilisé un raisonnement par récurrence un jour il a pas attendu qu'on lui dise "tiens tu dois montrer cette propriété là par récurrence sur n".
Si t'es pas créatif bah autant retourner faire de la poésie ou des arts plastiques.
(et puis mets bien a et b dans le bon ordre après)

En fait, cette limite peut-être c , elle est bien dans [a,b] car
donc, f(c) = lambda impliquera bien f(a) < lambda < f(b)

Oui il va s'agir de cette limite. Mais tu n'as pas du tout montré pour l'instant que si on pose c = lim an = lim bn, f(c) = .
Pour ça il va falloir que tu fasses un dessin de ce qui se passe, que tu observes des trucs sur f(an) et f(bn), et que tu te montres créatif et peut-être même que tu fasses une récurrence avant d'utiliser l'hypothèse que f est continue.

Mais il n'y a pas vraiment de limite ... elle diverge. Maintenant, il n'y a plus qu'a trouvé une rédaction correcte.

Exactement. Déjà par exemple tu peux essayer de montrer qu'elle prend une infinité de fois les valeurs 1 et -1 au voisinage de 0, vu que c'est ce que tu observes.

Ensuite, tu dois donc montrer que pour tout réel l, il est faux que sin(1/x) converge vers l quand x tend vers 0.
Je te laisse regarder ce que ça veut dire concrètement avec la définition de la limite.

[RoMz34]

Ok, je ferais tout ça demain, pour l'heure je vais allez dormir ^^.

Merci beaucoup pour l'aide, je fait part des mes avancé demain soir :).

[RoMz34]

Et bien, excuse moi. Semaine chargé, je n'ai pas trop eu le temps de me consacrer au DM.

J'ai tout de même été demander à la prof, effectivement, elle à ajouter une condition f(a) >= lambda >= f(b).

Quand je fait le dessin, je visualise tout à fait, c'est sur l'axe des abcsicce que a_n et b_n converge (vers c donc), et on atteint lambda obligatoirement, mais comment l'expliquer par le calcul.
Après, on sait que la fonction est continue.
Le seule truc qui me pose problème c'est que je n'arrive pas à montrer que f(c) = lambda sera bien atteint entre f(a) et f(b).
Je pense que je vais revoir mon cours sur la dichotomie .

Sinon, au niveau de la question 6), ayant déjà démontrer que sin(x) quand x tend vers plus l'inifini n'as pas de limite, on n'as pas besoin de tout refaire. Il suffit de dire que 1/x tend vers plus l'infini en 0 et par composition des limites, on a bien sin(1/x) en 0 tend vers + infini.

Pour la 7, je ne vois pas trop quoi dire, mise à part que sin(1/x) n'ayant pas de limite en 0 on ne peut pas la prolonger par continuité.

J'arrive donc à la 8.1)

On à 0 b > 0. )

Maintenant, la 8.2), ça se corse un peu :

La fonction inverse est décroissante sur ]0 ; +oo[ donc sur l'intervalle donner (qui est positif car b > 0 > a).
Je vais mieux l'étudier et voir ce que je peut trouver pour f ^^.


Voila. J'avoue que je n'ai pas trop avancé :/. Si tu peut corriger mes erreurs ça serait sympa .

[Doraki]

Quand je fait le dessin, je visualise tout à fait, c'est sur l'axe des abcsicce que a_n et b_n converge (vers c donc), et on atteint lambda obligatoirement, mais comment l'expliquer par le calcul. Le seule truc qui me pose problème c'est que je n'arrive pas à montrer que f(c) = lambda sera bien atteint entre f(a) et f(b).

ben f est continue donc tu as un lien entre f(c) et les nombres f(an) et f(bn) (quel est ce lien ?)
Maintenant, si seulement on avait observé un truc sur les f(an) et les f(bn) en rapport avec !
Par exemple serait-il possible que f(an) est toujours plus grand que ?

Sinon, au niveau de la question 6), ayant déjà démontrer que sin(x) quand x tend vers plus l'inifini n'as pas de limite, on n'as pas besoin de tout refaire.

ah ben oui dans ce cas, pas besoin de recopier la preuve.

Il suffit de dire que 1/x tend vers plus l'infini en 0 et par composition des limites, on a bien sin(1/x) en 0 tend vers + infini.

relis-toi.

7 et 8.1, c'est ça.

Maintenant, la 8.2), ça se corse un peu :

je sais pas de quelle fonction inverse ils parlent ni ce qu'il y aurait à dire dessus, mais il me semble que regarder ce que fait f sur l'intervalle qu'ils donnent n'est pas idiot.

[RoMz34]

Oui excuse moi, je me suis relu, ce n'est pas +oo mais bien pas de limite en 0 ^^.

Pour la 4), j'ai avancé un peu :

Vu que et que on peut faire une démo par récurrence pour montrer

Init : Déjà montré pour n = 0

Hérédité : Soit n entier naturel, supposons P(n) et montrons P(n+1), câd .

Si

Si,


On a bien démontrer
et comme les suite sont adjacente, an et bn tendent vers une même limite que l'on nommera c tel que d'ou l'existence d'un c tel que f(c) = lambda.

(pas sûr pour la rédaction de la fin).


Ensuite, la 8.2)

Pour sin(1/x), ça donne sin(x) avec et
sin(a+b) = sin(a).cos(b) + sin(b).cos(a).

Donc, sin(1/b + 2.pi) = sin(1/b).cos(2.pi) + sin(2.pi).cos(1/b) et sin(2.pi) = 0 et cos(2.pi) = 1,
donc sin(1/b + 2.pi) = sin(1/b)

Donc, sin(1/x) sur cet intervalle, equivaut a sin(x) avec

Voila, je ne voit pas que dire de plus, j'ai pas vraiment l'impression d'en avoir déduis quelque chose ^^.

[Doraki]

On a bien démontrer
et comme les suite sont adjacente, an et bn tendent vers une même limite que l'on nommera c tel que d'ou l'existence d'un c tel que f(c) = lambda.

ok pour "pour tout n, f(an) > >= f(bn)".
Mais quel est le lien entre f(c) et les nombres f(an) et f(bn) ?
Où est-ce que tu comptes utiliser la continuité de f ?

Ensuite, la 8.2)

Pour sin(1/x), ça donne sin(x) avec

efface tout et recommence sans te tromper.

[RoMz34]

ok pour "pour tout n, f(an) > >= f(bn)".
Mais quel est le lien entre f(c) et les nombres f(an) et f(bn) ?
Où est-ce que tu comptes utiliser la continuité de f ?

efface tout et recommence sans te tromper.

C'est vrai que je n'ai pas parler de la continuité, mais si elle n'était pas continu, ma conclusion ne serait pas effective.

Du fait que f soit continue, ça induit que la limite f(c) = lambda sera atteinte (en fait, c'est le théorème des valeurs intermédiaire), vu que f(a_n) > lambda >= f(b_n) alors il existe forcement un réel tel que c tel que f(c) = lambda (avec la condition que f soit continu).

Je reprend donc pour la 8.2)

Je me suis effectivement tromper, on a en fait, sin(x) avec mais du coup ... je ferais mieux de laisser 1/b + 2.pi car ce sont les images qui sont identique ( sin(1/b + 2pi) = sin(1/b)).

Ce que on peut en déduire, c'est que la fonction est 2.pi périodique (en fait, vu que c'est sinus elle est même pi périodique ...). Après, ce que l'on peut dire de f ... a part le théorème de Rolle, je ne voit pas trop ...

[Doraki]

Du fait que f soit continue, ça induit que la limite f(c) = lambda sera atteinte (en fait, c'est le théorème des valeurs intermédiaire)

Je ne pense pas que la stratégie "je vais utiliser le théorème des valeurs intermédiaires pour démontrer le théorème des valeurs intermédiaires" soit autorisée.

Ca veut dire quoi que f est continue ?

Je reprend donc pour la 8.2) [...] ( sin(1/b + 2pi) = sin(1/b)).

ok.

sin(x) avec x dans [1/b; 1/b]

hein ? quoi ? que veux-tu dire à propos de sin(1/b) ? je vois pas.

C'est quoi que tu veux montrer à propos de la fonction f sur [a;b] déjà ?

[RoMz34]

Je ne pense pas que la stratégie "je vais utiliser le théorème des valeurs intermédiaires pour démontrer le théorème des valeurs intermédiaires" soit autorisée.

Ca veut dire quoi que f est continue ?

ok.
hein ? quoi ? que veux-tu dire à propos de sin(1/b) ? je vois pas.

C'est quoi que tu veux montrer à propos de la fonction f sur [a;b] déjà ?

Oui, je comprend, je ne voulait pas l'utiliser, mais dire qu'on retombe dessus.

Le fait qu'elle soit continue sur [a , b] implique que la fonction f atteint toutes les valeurs entre f(a) et f(b) donc, entre f(a_n) et f(b_n), donc c tel que f(c) = lambda ^^.


Pour la 8.2, je me suis mal exprimé. Je voulais bien dire sin(x) tq. . Mon problème est que justement, je ne comprend pas le but de la question.

J'ai déjà ma petite idée pour la 9), c'est que la réciproque n'est pas vrai (ex, f(0) = 0 est bien compris entre sin(-pi /2) et sin(pi /2) et pourtant, la fonction que l'on a définit n'est pas continue en 0 ... )

Après, faut que j'étudie sin(x) sur cet intervalle mais en même temps, 1/b c'est vaste pour tout b>0 ... On peut déjà différencié deux cas, car sur ]0,pi/2] elle décrit ]0,1] (croissante), ensuite décroissante sur pi/2 ; -pi/2 etc. (pi périodique).

Bref, comme tu le voit, je suis perdu Oo.

[Doraki]

Le fait qu'elle soit continue sur [a , b] implique que la fonction f atteint toutes les valeurs entre f(a) et f(b) donc,

Ben ça si c'est pas utiliser le théorème des valeurs intermédiaires, je sais pas ce que c'est.
En plus je vois pas en quoi ça implique que f(c) = .

Est-ce que tu sais QUOI QUE CE SOIT d'autre que "une fonction continue est une fonction qui vérifie le théorème des valeurs intermédiaires" à propos des fonctions continues ?
Par exemple c'est quoi la DEFINITION de "fonction continue" ?

Pour la 8.2, je me suis mal exprimé. Je voulais bien dire sin(x) tq. .

je comprends toujours pas ce que tu veux dire.
ln(z) tel que z est dans [2;5].
Pourquoi j'ai dit ça ? j'en sais rien.

Mon problème est que justement, je ne comprend pas le but de la question.

Le but de la question 8 est de montrer que la fonction f (malgré qu'elle n'est pas continue) vérifie le T.V.I..
je sais pas si tu te souviens mais on s'interroge donc lorsque a0, de savoir si oui ou non la phrase "pour tout compris entre f(a) et f(b), il existe un c dans [a;b] tel que f(c) = " est vraie.
Pour cela on se demande donc : Quels sont les nombres qui peuvent s'écrire sous la forme f(c) avec c dans [a;b] ?
Par exemple je sais pas, est-ce que 17 est un nombre qui s'écrit sous la forme f(c) avec c quelconque ? Et 0 ? Et -2/3 ?

Par exemple pour a=-3 et b=5, f(a) = sin(-1/3) = -0.327... et f(b) = sin(1/5) = 0.199...
La question c'est de savoir si pour tout dans [-0.327... ; 0.199...] il existe c dans [-1/3;1/5] tel que f(c)=;).
Par exemple, pour = -0.2, est-ce qu'il existe c dans [-1/3;1/5] tel que sin(1/c) = -0.2 ?


Pour la 9 on te demande si la phrase "Si une fonction vérifie le théorème des valeurs intermédiaires alors cette fonction est continue" est vraie ou fausse.
Mais il faut la faire une fois qu'on a fini la question 8.

[RoMz34]

Ben ça si c'est pas utiliser le théorème des valeurs intermédiaires, je sais pas ce que c'est.
En plus je vois pas en quoi ça implique que f(c) = .

Est-ce que tu sais QUOI QUE CE SOIT d'autre que "une fonction continue est une fonction qui vérifie le théorème des valeurs intermédiaires" à propos des fonctions continues ?
Par exemple c'est quoi la DEFINITION de "fonction continue" ?

Excuse moi, je commence à fatigué je dit n'importe quoi, effectivement ce que j'ai dit est le théorème des valeurs intermédiaire. La déf : (pour tout b>0 bien sur).
Et ensuite, x -> sin(x) continue sur R donc sur

...

[Doraki]

Mais on à quand même : La fonction ƒ est dite continue (sur I) si elle est continue en tout point a de I

Donc, si on dit que f est continue sur l'intervalle [a, b], f atteint tout les points de cet intervalle, dont un particulier (que l'on nommera c) qui est la limite des a_n et b_n (forcement entre a et b car a 0 de manière à contredire le fait que les f(an) sont > et les f(bn) sont 1/x est continue sur (pour tout b>0 bien sur).
Et ensuite, x -> sin(x) continue sur R donc sur
...

Tout ça pour dire quoi finalement ? f est donc définie sur [b/(1+2bpi) ; b], continue, et à valeurs dans quoi ?

[RoMz34]

oui.
Est-ce que tu penses que la continuité de f partout sur [a;b] est importante pour montrer que f(c) = ?
Est-ce que tu ne connaît pas un truc qui s'apelle "caractérisation séquentielle de la continuité" qui interprète ce que veut dire d'être continu en termes de suites ?

Sinon on peut quand même démontrer que f(c)=;) avec ta définition, par l'absurde.
On suppose que f(c) est différent de , on choisit le point a dans la définition où on veut utiliser la continuité, puis on choisit un >0 de manière à contredire le fait que les f(an) sont > et les f(bn) sont <= .

Encore une fois, tu cherches à montrer que la méthode de dichotomie est correcte donc c'est pas une preuve que f(c) = .


Tout ça pour dire quoi finalement ? f est donc définie sur [b/(1+2bpi) ; b], continue, et à valeurs dans quoi ?

Désolé, mais je ne connais pas la "caractérisation séquentielle de la continuité", la méthode de l'absurde me semble bien, je vais chercher dans cette direction.


Pour la 8.2, c'est à valeur dans [-1 , 1] mais déjà, dans mon raisonnement, je détecte un problème, car on a 1/b < 1/b + 2pi donc l'intervalle [1/b + 2pi ; 1/b] ... ça serait plutôt [1/b ; 1/b + 2pi]

Ensuite, sin(x) étant pi périodique, allant de -1 a 1, de 1/b a 1/b + 2pi on fait deux sinusoïdes (donc on atteint bien les valeurs -1 et 1).

Bref pou moi, f est définie est continue sur l'intervalle à valeurs dans [-1,1]

[Doraki]

Ensuite, sin(x) étant pi périodique, allant de -1 a 1, de 1/b a 1/b + 2pi on fait deux sinusoïdes (donc on atteint bien les valeurs -1 et 1).

Bref pou moi, f est définie est continue sur l'intervalle à valeurs dans [-1,1]

D'accord.

Donc finalement est-ce que c'est vrai que "pour tout entre f(a) et f(b), il existe c dans [a;b] tel que f(c) = " ?
Que peux-tu dire des valeurs possibles de ?
Que peux-tu dire des intervalles [a;b] et [1/(b+2pi) ; b] ?

[RoMz34]

D'accord.

Donc finalement est-ce que c'est vrai que "pour tout entre f(a) et f(b), il existe c dans [a;b] tel que f(c) = " ?
Que peux-tu dire des valeurs possibles de ?
Que peux-tu dire des intervalles [a;b] et [1/(b+2pi) ; b] ?

Et bien, le problème est que a (b/(b+2pi)) > 0 > a du coup, c'est comme si on avait 0 < a < b ...