Démonstration sur les espaces vectoriels

par **Florix** » 06 Fév 2006, 16:32

Bonjour,

J'ai une demonstration à faire, mais je n'y arrive vraiment pas ! Si qnn pouvait me donner la solution....

Soient E1 et E2 deux sous espaces vectoriels (SEV) d'un K espace vectoriel (EV). L'obejectif est de démontrer que l'affirmation " E1 U E2 est alors un SEV de E" est fausse

a) Supposons que E1 n'est pas inclus dans E2 et que E2 n'est pas inclus dans E1. Trouver (x1,x2) appartient à E1 x E2 tels que x1 + x2 n'appartient pas à E1 U E2

b) En déduire que E1 U E2 est un SEV de E ssi E1 est inclus dans E2 ou E2 inclus dans E1.

Ca resemble bien a un raisonnement par contraposée, mais là je bloque.... :briques:

Merci d'avance de votre aide

par **yos** » 06 Fév 2006, 16:34

Tu prends x1 dansE1-E2 et x2 dans E2-E1 et tu poses x=x1+x2
Vérifie que x n'appartient ni à E1, ni à E2.

par **Florix** » 06 Fév 2006, 16:52

Je vois pas trop !

Deja c koi E1-E2 ?? Union ? Intersection ? Inclusion ?

Ensuite cette méthode est marquée dans l'énoncé mais j'ai pas réussi avec !

Mais merci quand meme !

Si qqn peut m'aider merci

par **Florix** » 06 Fév 2006, 17:09

D'ailleurs qqn peut-im me dire si mon raisonnement est bon :

On veut demontrer que E est un EV. Pour cela, on veut utiliser une autre méthode que de montrer que 0e appartient à E, et que E est stable par combinaison linéaire...

L'autre méthode est de montrer que E possède une famille génératrice. Alors c'est un EV.

Ai-je tort ?

Aidez moi pour ma demo svp !

merci

par **memphisto** » 06 Fév 2006, 17:49

Exemple:
Les droites {y=0} et {x=0} sont des sous espaces vectoriels de R², pourtant leur union n'en est pas un. Peut-tu dire pourquoi?

par **Florix** » 06 Fév 2006, 17:52

memphisto a écrit:Exemple:
Les droites {y=0} et {x=0} sont des sous espaces vectoriels de R², pourtant leur union n'en est pas un. Peut-tu dire pourquoi?

Bah non justement je vois pas pourquoi !

Leur union ça fait (0,0) pareil alors pourquoi ça marche pas ???

(pourquoi tournons nous autour du pot comme ça lol ?)

:help: :help: :help: :help: :help:

par **memphisto** » 06 Fév 2006, 18:00

tu confond avec l'intersection.
L'union donne les deux axes évidement, donc une croix !!!

par **yos** » 06 Fév 2006, 18:01

Florix a écrit:Je vois pas trop !

Deja c koi E1-E2 ?? Union ? Intersection ? Inclusion ?

Si qqn peut m'aider merci

E1-E2 est l'ensemble des éléments de E1 n'appartenant pas à E2.

J'en dis plus que dans l'énoncé car je te donne x1 et x2 qui vont marcher. Allons-y :

Si x est dans E1 , alors x-x1 aussi car E1 est un espace vectoriel, mais
x-x1=x2, et on a supposé que x2 n'est pas dans E1. On a donc une contradiction. D'où x n'est pas dans E1. Symétriquement, x n'est pas dans E2. Donc x n'est pas dans E1 union E2.
En résumé, on a exhibé deux éléments de E1 union E2 dont la somme n'est pas dans E1 union E2. Cela prouve que E1 union E2 n'est pas un espace vectoriel.

par **Florix** » 06 Fév 2006, 18:07

yos a écrit: x-x1 aussi car E1 est un espace vectoriel.

Je comprends pas ce passage là

Sinon ouais c'est beaucoup plus clair comme ça ! C'était tout simple en fait ! Merci beaucoup !

par **yos** » 06 Fév 2006, 18:49

x est dans E1 (notre supposition), x1 aussi donc x-x1 est dans E1

par **Florix** » 06 Fév 2006, 19:15

Oui oui c'est vrai lol

Merci énormement

(vive maths-forum, vive yos, memphisto, abcd22.... bref tous les gens qui m'aident bcp - et qui sont souvent les meme ! - ! Merci à vous ) :++: :++: :++:

Démonstration sur les espaces vectoriels

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