Démonstration sur les ensembles ( topologie )

[Georges10]

Bonsoir à tous,

J'aimerais savoir s'il y'a des petites techniques, stratégies, pour résoudre les exercices sur les ensembles, des exercices du genre
Montrer que ( c'est un exemple )

Merci d'avance !

[Ben314]

Salut,

J'aimerais savoir s'il y'a des petites techniques, stratégies, pour résoudre les exercices sur les ensembles, des exercices du genre
Montrer que, pour toute parties et d'un même ensemble , si alors .

Si ta question c'est "une fois qu'on a un peu de bouteille, comment procède t'on", alors je répondrait :
1) Déjà, quand on a "un peu de bouteille", ben on écrit correctement les maths, c'est à dire que, systématiquement on précise ce que désignent les lettres qu'on emploie (c.f. en rouge ci dessus)
2) Dans un truc aussi bête que ça, on repère immédiatement que la première inclusion est "complètement non naturelle" vu qu'une réunion, c'est bien évidement toujours "plus gros" qu'une intersection et on voit tout aussi immédiatement que, vu que A et B sont tout les deux contenus dans la réunion et que l'intersection est contenu dans A et dans B, ben cette première inclusion "bizarre" n'est possible que si A=B (et qu'elle équivaut même à A=B).
3) Dans des cas moins "complètement évidents", s'il n'y a pas plus de 3 ou 4 sous-ensemble en jeu, ben on fait un dessin (patatoïde) et on a la preuve (ou le contre exemple) en 3 seconde.
4) S'il y a plus de 3 ensemble, ben on revient (évidement !!!!) aux définitions de l'intersection, de la réunion et de l'inclusion pour voir si le bidule est vrai ou pas, ou alors on dresse une table de vérité (ce qui est au fond la même chose en pas mal plus long qu'un dessin de patatoïdes).

P.S. Et ce type de truc n'a absolument pas le moindre rapport avec le domaine des maths. appelé "topologie". C'est du on ne peu plus bête "raisonnement ensembliste" qu'on commençait à faire (dans le temps) dés le primaire vu que ton énoncé, dans le cas où A="être grand" et B="être gros", il correspond à ça :
Si toutes les personnes de cette salle qui sont grand ou bien gros sont forcément à la fois grand et gros, peut-on en déduire que tout les grands de la salle sont gros ?
Et il n'y a pas vraiment besoin d'avoir fait de "hautes études de maths" pour comprendre la question, ni pour trouver la réponse : c'est uniquement une question de compréhension de l'énoncé (ce qui vient avec l'habitude)

[pascal16]

Une méthode est de choisir un élément quelconque qui vérifie ce qu'il y a à gauche de l'implication et de montrer qu'il vérifie ce qu'il y a à droite

avec 3 ensembles max, tu peux faire un diagramme de Venn

des fois la contraposée est plus facile à faire

...

[mathelot]

Salut,

J'aimerais savoir s'il y'a des petites techniques, stratégies, pour résoudre les exercices sur les ensembles, des exercices du genre
Montrer que, pour toute parties et d'un même ensemble , si alors .

A et B sont deux ensembles quelconques de la catégorie des ensembles Ens

[Ben314]

A et B sont deux ensembles quelconques de la catégorie des ensemble s Ens

Oui, mais vu que la catégorie des ensemble n'est elle même pas un ensemble (*), ça me parait plus que sain de "limiter la casse" en n'énonçant ce type de résultat que (et exclusivement que) dans le cas de sous ensembles d'un même ensemble.
Tu as déjà trouvé un bouquin ou un site où ce type de truc est énoncé autrement qu'en terme de sous ensembles d'un même ensemble donné au départ ?

(*) i.e. que les propriétés "usuelles" des ensembles (qu'on utilise sans justification jusqu'à au moins le M2) ne sont pas vérifié par la catégorie en question.

[Georges10]

Merci à tous pour vos réponses !