Démonstration par l'absurde

[lazyboy244]

Bonjour

Le problème est le suivant :

Soit n un entier naturel. On se donne n + 1 reels verifiant :
Démontrer par l'absurde la propriete P suivante : "Il y a deux de
ces reels qui sont distants de moins de 1/n.

---------------
Brouillon :
J'ai commencé par écrire P en utilisant les symboles :


Ensuite sa négation :


Maintenant reste à trouver la contradiction :
Donc je commence la rédaction par supposer que
Sachant que : et

Là je bloque... :/

Merci d'avance pour votre aide précieuse^^

[chan79]

salut
vois le "principe des tiroirs"

[barbu23]

Bonjour, :happy3:
A ta place, j'aurais écrit : tels que : .
Tu affirmes, qu'il faut procéder par récurrence :
Donc, on va partir étape par étape :
Pour : ( initialisation, pour valider expérimentalement l'assertion avant de le valider théoriquement )
On a : .
Il suffit de prendre et .
Ensuite on suppose et on montre .
Autrement dit :
Soit $ n \geq 1 $ :
On suppose que : tels que :
Et on montre que, tels que :
Donc, il te faut établir : tels que : à partir d'une hypothèse qui est :
tels que :
Essaye de le faire.
Cordialement. :happy3:

[nodjim]

Il faut juste faire attention que x0 et xn peuvent être 0 et 1, auquel cas le plus petit intervalle mesure pile 1/n quand tous les x sont équidistants, ce qui contredit l'énoncé de départ. Dans tous les autres cas, l'intervalle le plus petit est forcément <1/n.

[jlb]

Bonjour

Le problème est le suivant :

Soit n un entier naturel. On se donne n + 1 reels verifiant :
Démontrer par l'absurde la propriete P suivante : "Il y a deux de
ces reels qui sont distants de moins de 1/n.

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Brouillon :
J'ai commencé par écrire P en utilisant les symboles :


Ensuite sa négation :


Maintenant reste à trouver la contradiction :
Donc je commence la rédaction par supposer que
Sachant que : et

Là je bloque... :/

Merci d'avance pour votre aide précieuse^^

écris toutes les inégalités, ensuite, ajoute-les, cela te donne xn-xo=xn-x(n-1)+x(n-1)-x(n-2)+...+x1-x0 >n*1/n=1 or xn-x0=<1 puisque xn et x0 appartiennent à [0,1], cela te donne la contradiction.

[deltab]

Bonsoir.

Bizarre!!
On a posté le même exercice avec le même début de solution dans http://www.ilemaths.net/forum-sujet-569193.html avec si je ne m'abuse avec le m^me intitulé.

[lazyboy244]

C'est moi-même en fait. Je voulais optimiser mes chances d'avoir une réponse...