Raisonnement par l'absurde

par **Dinozzo13** » 04 Fév 2012, 00:14

Bonjour, j'aurai besoin d'aide pour un exercice nécessitant le raisonnement par l'absurde :
On pose

et

deux rationnels distincts tels que

soient irrationnels.
On pose

et

.
Le but est de montrer que

est rationnel et que

est irrationnel. Puis en déduire que

et

sont irrationnels.
Quelqu'un aurait une idée ?
Je pense qu'il faut raisonner par l'absurde mais je n'y arrive pas.
Après si quelqu'un me propose un raisonnement qui marche sans raisonner par l'absurde, ca m'intéresse :++:

par **barbu23** » 04 Fév 2012, 00:28

Bonsoir, :happy3:

et

Maintenant, la réponse devient facile non ? :zen:

par **SaintAmand** » 04 Fév 2012, 00:29

Bonsoir,

Dinozzo13 a écrit:Le but est de montrer que est rationnel et que est irrationnel.

Développe p et réduis q.

Puis en déduire que et sont irrationnels.
Je pense qu'il faut raisonner par l'absurde

Oui. Tu peux supposer qu'au moins l'un des deux est rationnel.

par **Dinozzo13** » 04 Fév 2012, 00:31

Ben justement non :cry:

par **Dinozzo13** » 04 Fév 2012, 00:38

Oui, mais si on suppose par exemple que

est rationnel alors s'écrit sous la forme

avec n et q premiers entre eux et je ne vois pas comment avancer.

par **Doraki** » 04 Fév 2012, 00:55

Il suffit de répondre aux questios : les résultats peuvent-ils être rationnels, irrationels, ou les deux ?

rationnel non nul * rationnel non nul = ?
rationnel non nul * irrationnel = ?
irrationnel * irrationnel = ?
rationnel - rationnel = ?
rationnel - irrationnel = ?
irrationnel - irrationnel = ?

par **Dinozzo13** » 04 Fév 2012, 11:47

Doraki a écrit:Il suffit de répondre aux questios : les résultats peuvent-ils être rationnels, irrationels, ou les deux ?

Ok :

rationnel non nul * rationnel non nul = rationnel non nul ;
rationnel non nul * irrationnel = irrationnel ;
irrationnel * irrationnel = irrationnel ;
rationnel - rationnel = rationnel ;
rationnel - irrationnel = irrationnel ;
irrationnel - irrationnel = irrationnel.

par **SaintAmand** » 04 Fév 2012, 14:55

Dinozzo13 a écrit:irrationnel * irrationnel = irrationnel ;

irrationnel - irrationnel = irrationnel.

par **Dinozzo13** » 04 Fév 2012, 15:29

Oui mais ils sont distincts.

par **chan79** » 04 Fév 2012, 15:51

les deux nombres que l'on veut prouver irrationnels sont solutions de l'équation
X²- sX+p=0
s=(X²+p)/X
on procède par l'absurde
si X était rationnel, X² le serait et comme p est rationnel, s serait rationnel
donc X est irrationnel
et donc

est irrationnel
et

aussi

par **Skullkid** » 04 Fév 2012, 16:05

Dinozzo13 a écrit:Oui mais ils sont distincts.

Ça change rien :

et

. De plus, si les irrationnels étaient stables par somme et produit, ce que ton exercice demande de montrer serait faux. Quand tu fais une somme ou un produit de deux irrationnels, ça peut aussi bien donner un rationnel qu'un irrationnel.

par **Dinozzo13** » 04 Fév 2012, 20:49

chan79 a écrit:on procède par l'absurde
si X était rationnel, X² le serait et comme p est rationnel, s serait rationnel
donc X est irrationnel
et donc est irrationnel
et aussi

Ah oui, s et p me faisaient aussi penser à dire que

et

sont solutions de X²-sX+p=0 !
Mais je ne voyais pas quoi faire ensuite !

Mais quand même chapeau :++:

par **SaintAmand** » 04 Fév 2012, 21:04

Dinozzo13 a écrit:Mais quand même chapeau :++:

Ou encore:

Supposons que l'un des deux nombres est rationnel. Comme le produit des deux nombres est rationnel, l'autre est également rationnel donc leur somme est rationnelle. Contradiction.

par **chan79** » 04 Fév 2012, 21:23

SaintAmand a écrit:Ou encore:

Supposons que l'un des deux nombres est rationnel. Comme le produit des deux nombres est rationnel, l'autre est également rationnel donc leur somme est rationnel. Contradiction.

Bravo, c'est encore plus simple

par **Dinozzo13** » 04 Fév 2012, 21:24

Ok, je vais quand même voir en détail la méthode par l'absurde (chose que je maîtrise moins).

Merci à tous :++:

par **Dinozzo13** » 04 Fév 2012, 22:17

J'étais en train de me demander, toujours avec les rationnels.
Si on prends deux rationnels a et b. A-t-on

irrationnel ? A mon avis oui.
Etant donné que

et

sont irrationnels,

et

le sont aussi. Par conséquent,

est irrationnel.

Ai-je bon ?

par **Doraki** » 04 Fév 2012, 22:21

Ben non, le produit d'un rationnel par un irrationnel peut parfois être rationnel.
A ton avis pourquoi j'ai mis "rationnel non nul" dans mes questions ?

Après tu peux refaire l'exo en remplaçant racine(x) et racine(y) par racine(a²x) et racine(b²y) si ça peut te faire plaisir.

par **SaintAmand** » 04 Fév 2012, 22:23

Dinozzo13 a écrit:Etant donné que et sont irrationnels, et le sont aussi. Par conséquent, est irrationnel.

Ai-je bon ?

n'est pas stable pour l'addition. Skullkid t'a donné un contre-exemple.

par **Dinozzo13** » 04 Fév 2012, 22:33

SaintAmand a écrit: n'est pas stable pour l'addition. Skullkid t'a donné un contre-exemple.

Ah oui, c'est vrai, je me voyais dans R :hum:

par **Dinozzo13** » 04 Fév 2012, 22:35

Doraki a écrit:Après tu peux refaire l'exo en remplaçant racine(x) et racine(y) par racine(a²x) et racine(b²y) si ça peut te faire plaisir.

Si on fait ça, alors on revient au début de la discussion :
racine(a²x) et racine(b²y) sont tous deux des irrationnels donc d'après ce qu'on a dit précédemment, leur somme est irrationnelle.

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