Démonstration exp et trigo...
Réponses à toutes vos questions après le Bac (Fac, Prépa, etc.)
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MacErmite
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par MacErmite » 12 Nov 2006, 07:33
Bonojur à tous,
L'on trouve trop souvent dans les cours de mathématiques des relations que l'on doit admettre, voir apprendre par coeur. C'est navrant n'est-ce pas ? Ne serait il pas mieux d'apprendre à raisonner ?
Par exemple comment démontrer cette relation :
 + i \sin (\theta))
:marteau:
Demain nous comprendrons ou est passé le chat de Erwin :mur:
Cordialement.
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Zebulon
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par Zebulon » 12 Nov 2006, 08:41
Bonjour,
MacErmite a écrit:Par exemple comment démontrer cette relation :
par exemple en voyant
,
)
et
)
comme sommes des séries :
^n\over n!})
,
=\sum\limits_{n\geq0}(-1)^n {\theta^{2n}\over (2n)!})
,
=\sum\limits_{n\geq0}(-1)^n {\theta^{2n+1}\over (2n+1)!})
.
On a :
^n\over n!}=\sum\limits_{n\geq0}{(i\theta)^{4n}\over (4n)!}+\sum\limits_{n\geq0}{(i\theta)^{4n+1}\over (4n+1)!}+\sum\limits_{n\geq0}{{(i\theta)^{4n+2}} \over (4n+2)!}+\sum\limits_{n\geq0}{{(i\theta)^{4n+3}} \over (4n+3)!}\\<br />=\sum\limits_{n\geq0}{\theta^{4n}\over (4n)!}+i\sum\limits_{n\geq0}{\theta^{4n+1}\over (4n+1)!}+(-1)\sum\limits_{n\geq0}{{\theta^{4n+2}} \over (4n+2)!}+i(-1)\sum\limits_{n\geq0}{{\theta^{4n+3}} \over (4n+3)!}\\<br />=\sum\limits_{k\geq0}(-1)^{2k}\ .{\theta^{2k}\over (2k)!}+i\sum\limits_{k\geq0}(-1)^{2k+1}\ .{\theta^{2k+1}\over (2k+1)!}+\sum\limits_{k\geq -1}(-1)^{2(k+1)+1}\ .{{\theta^{2(k+1)+1}} \over (2(k+1)+1)!}+i\sum\limits_{k\geq -1}(-1)^{2(k+1)+1}\ .{{\theta^{2(k+1)+1}} \over (2(k+1)+1)!}\\<br />=\bigg(\sum\limits_{k\geq0}(-1)^{2k}\ .{\theta^{2k}\over (2k)!}+\sum\limits_{k\geq -1}(-1)^{2(k+1)+1}\ .{{\theta^{2(k+1)}} \over (2(k+1))!}\bigg)+i\bigg(\sum\limits_{k\geq0}(-1)^{2(k+1)}\ .{\theta^{2k+1}\over (2k+1)!}+\sum\limits_{k\geq -1}(-1)^{2(k+1)+1}\ .{{\theta^{2(k+1)+1}} \over (2(k+1)+1)!}\bigg)\\<br />=\bigg(\sum\limits_{n\geq0}(-1)^{2n}\ .{\theta^{2n}\over (2n)!}+\sum\limits_{n\geq0}(-1)^{2n+1}\ .{{\theta^{2n}} \over (2n)!}\bigg)+i\bigg(\sum\limits_{n\geq0}(-1)^{2n}\ .{\theta^{2n+1}\over (2n+1)!}+\sum\limits_{n\geq0}(-1)^{2n+1}\ .{{\theta^{2n+1}} \over (2n+1)!}\bigg)\\<br />=\sum\limits_{n\geq0}(-1)^n {\theta^{2n}\over (2n)!}+i\sum\limits_{n\geq0}(-1)^n {\theta^{2n+1}\over (2n+1)!}\\<br />=cos(\theta)+isin(\theta))
Je n'ai pas détaillé les changements d'indices et je n'ai pas justifié la commutative convergence.
En fait, je ne suis pas sûre que cette formule se montre. Ne serait-ce pas plutôt dans l'autre sens : on définit l'exponentielle comme somme de série, puis
et
comme étant les parties réelle et imaginaire de
, et on en déduit que
et
sont les sommes des deux séries partie réelle et partie imaginaire de
?
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Epsilon
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par Epsilon » 12 Nov 2006, 09:42
même méthode de Zebulon mais on divise la série en deux
série des n paires et des n impaires
alors
exp(i*teta)=som[ (i*teta)^(2*n)/ (2*n)! ]+som[ (i*teta)^(2*n+1) / (2*n+1)! ]
= som[ (i^2)^n * (teta)^(2*n) / (2*n)! ]+ som[ i*(i^2)^n * (teta)^(2*n+1) / (2*n+1)! ]
on a i^2=-1
on remplace on trouve
exp(i*teta)=cos(teta)+i*sin(teta)
:id:
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yos
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par yos » 12 Nov 2006, 10:07
Je verrais ça autrement :
En terminale, on définit presque rigoureusement
pour x réel, ainsi que les nombres complexes.
Rien n'empêche de
définir (toujours en terminale)
par la relation
et d'en tirer toutes les propriétés.
A un niveau supérieur, on remet les choses en questions: on définit
pour z complexe (comme somme d'une série) et ensuite on
définit 
par les "formules" d'Euler.
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Epsilon
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par Epsilon » 12 Nov 2006, 10:11
yos a écrit:Je verrais ça autrement :
En terminale, on définit presque rigoureusement
pour x réel, ainsi que les nombres complexes.
Rien n'empêche de
définir (toujours en terminale)
par la relation
et d'en tirer toutes les propriétés.
A un niveau supérieur, on remet les choses en questions: on définit
pour z complexe (comme somme d'une série) et ensuite on
définit par les "formules" d'Euler.
on définit
)
par
=exp(x)*exp(I*y))
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