Démo du lemme du riesz

[Peypeypey]

J'ai un problème à la lecture de la première ligne de la preuve de ce lemme. (dans mon cours)

M sous espace fermé de E STRICTEMENT inclus dans E , donc E/M différent de {0}
alors il existe un élément z de la boule unité ouverte de l'espace quotient E/M de norme :
1/2<||z||<1


--->Pourquoi il en existe un forcément de norme supérieur (et strictement) à 1/2 ?

Dans mon livre , la preuve démarre de manière similaire avec:
E/M non nul alors pour t dans ]1-epsilon;1[ il existe un z de norme quotient 1-epsilon<||z||=t<1

---> qu'est ce qui est sous jacent à ça ? je ne comprends d'où ça vient.

[DamX]

Bonsoir,

Pourquoi ne pourrais-tu pas ? Le fait que F différent de E permet de dire que F/E n'est pas réduit à {0}, partant de là ta boule contient ce que tu veux niveau valeurs de norme.

dit autrement, si F distinct E, tu as x dans tel que d(x,F) = d > 0, si tu notes les majuscules pour les classes d'équivalence (X = [x]) tu as ||X|| = d > 0 puis pour tout L>0, ||LX|| = Ld et tu peux choisir L comme tu veux pour que ce soit entre 1/2 et 1. En bref tu as un espace vectoriel normé non réduit à {0} donc tu fais ce que tu veux..

Damien

[adrien69]

Yo !


Ta question se résume en fait à pourquoi il existe un élément de E/M dans la boule et de norme supérieure à 1/2.
Eh bien en fait c'est très simple.
Prends x' non nul dans E/M.
Tu as ||x'|| non nulle (norme dans E/M). Disons a>0
Prends b tel que 1/2<ab<1 (par exemple b=2/(3a))

Choisis y'=bx'.

C'est l'élément que tu voulais.

[DamX]

Ca c'est de la synchro niveau réponse !

[Peypeypey]

Si je comprends bien, c'est par STRUCTURE d'espace vectoriel, je peux ramener n'importe quel élément choisi au hasard dans E/M, sachant qu'il en existe au moins 1 de norme différent de 0( car E/M non réduit à zéro), je peux le ramener dans n'importe quel boule de E/M , à fortiori B(0,1) par translation ou homothéties.
En somme, je peux ramener sa norme dans n'importe quel interval réel positif

[DamX]

Si je comprends bien, c'est par STRUCTURE d'espace vectoriel, je peux ramener n'importe quel élément choisi au hasard dans E/M, sachant qu'il en existe au moins 1 de norme différent de 0( car E/M non réduit à zéro), je peux le ramener dans n'importe quel boule de E/M , à fortiori B(0,1) par translation ou homothéties.
En somme, je peux ramener sa norme dans n'importe quel interval réel positif

Oui mais :
Oui E/M étant un espace vectoriel normé non réduit à 0 tu vas (par structure) pouvoir trouver un élément de norme que tu veux

Mais le fait qu'il est un espace vectoriel normé nest pas une définition, c'est une conséquence dea définition de l'espace quotient, et comme Ca a l'air de perturber ça peut valoir le coup de le redemontrer pour bien comprendre.

Damien

[Peypeypey]

Oui mais :
Oui E/M étant un espace vectoriel normé non réduit à 0 tu vas (par structure) pouvoir trouver un élément de norme que tu veux

Mais le fait qu'il est un espace vectoriel normé nest pas une définition, c'est une conséquence dea définition de l'espace quotient, et comme Ca a l'air de perturber ça peut valoir le coup de le redemontrer pour bien comprendre.

Damien

Oui, on prend l'espace vectoriel E que l'on quotiente par la relation : xRy x-y appartient à M ( le sev de E qu'on a pris au début)
Si j'ai x1,x2,y1,y2 et t>0
alors x1Ry1 et x2Ry2 implique (x1+x2)R(y1+y2). Et on a tx1Rtx2.

[adrien69]

Berk j'aime pas cette façon de voir... C'est trop dégueulasse pour qu'on voie ce qu'il se passe vraiment.

Qu'est-ce que c'est qu'un espace E quotienté par un sous-espace fermé M ?

C'est l'ensemble des sous-espaces affines portés par M.

Comment bien l'écrire et lui donner une structure d'espace vectoriel ?

De façon naturelle.

Un élément de x' de E/M s'écrit x+M pour un certain x, on "visse" l'espace M sur x. Comme pour tout , aM=M, la façon la plus simple de voir ax' c'est de l'écrire ax+M pour un certain x tel que x'=x+M.
Reste à vérifier via la relation d'équivalence que c'est bien défini. Mais ça ça vient après la compréhension de l'objet.
Idem pour x'+y'.

Et puis après faut vérifier les axiomes d'un espace vectoriel mais bon, on a compris.