Définition rigoureuse du cosinus

[djinn]

Bonjour à vous tous,

Je prépare un exposé sur la trigonométrie et j'aurais voulu savoir qu'elle définition rigoureuse peut-on donner au cosinus (de la 4ème à bac +2 voir +3).
J'ai ces pistes :
- par le triangle rectangle,
- par le cercle trigonométrique,
- par les développements en série,
- par les complexes et la fonction exponentiel,
- par le paramétrage de l'équation du demi cercle,
...

Merci pour vos réponses.

[barbu23]

Il n'y'a pas une definition meilleur qu'une autre, mais la plus originale est certes celle definie par le triangle rectangle ! c'est à partir de là que commence l'apparition de ce qu'est le cosinus ! ENsuite, on l'applique à plusieurs champs ! fonction cosinus , developpement en serie entière ... etc ! :happy3:

[Skullkid]

Salut, la définition qui me semble la plus rigoureuse qui nécessite le moins de connaissances est celle via le cercle trigonométrique.

La définition par le triangle rectangle est la plus simple mais présente le désavantage de sembler un peu sortie de nulle part quand on veut définir les cosinus d'angles supérieurs à 90° : on est obligé d'étendre la définition sur [90°,180°] puis sur [180°,360°], et on comprend pas trop d'où ça sort.

La définition par les séries entières (ou par l'exponentielle complexe, qui est en général définie par son DSE) a l'avantage de ne pas être liée à la notion d'angle : on définit une fonction de dans lui-même.

[djinn]

Connaissez vous des démonstrations pour donnez une définitions au cosinus.
Pourriez vous m'indiquer une bibliographie, un site web, ou autres
Merci d'avance.

[Skullkid]

Je ne comprends pas ta question, tu veux démontrer une définition ? Ou tu veux des démonstrations de l'équivalence entre les différentes définitions possibles ?

[djinn]

En faites je souhaite justifier les définitions du Cosinus par des démonstrations.

Exemples : comment est on arrivé au développent en série de Cosinus, quelle est sa justification.

[Finrod]

La définition par le carcle trigo et le triangle rectangle sont intimement liées.

Le cos de x est l'abscisse du point P sur le cercle de coordonnée polaire (r=1,x). C'est ldonc la longueur de OP' ou P' est le projeté de P sur l'axe des abscisse.

Cela te donne non seulement le lien avec le triangle rectangle pour le cas x<\pi/2 mais permet aussi de faire le lien avec le triangle rectangle dans les autres cas, et d'expliquer les différences de signe par des projections et des produits scalaires.

[Ben314]

Salut,
Personellement, face à la question "comment définir le cosinus"... deux questions me viennent à l'esprit :
1) Veut tu définir le cosinus d'un angle ou le cosinus d'un nombre réel ?
2) Quelle définition prend-tu d'un angle ? et de la mesure d'un angle ?

Pour moi, la notion d'angle coïncide avec celle d'isométries directe du plan vectoriel euclidien orienté et on peut démontrer que cela correspond aux matrices sont de la forme avec .
Je te laisse deviner quelle est la définition du cos et du sin dans ce cas.

Pour ce qui est de la définition du cosinus d'un nombre réel, ma préférence est trés nettement celle avec les séries (car sans la trigo, définir la longueur d'un arc de cercle est... fastidieux...)