Définition morphisme d'anneau?

[chnafon]

Bonjour,

J'ai un problème avec la définition de morphisme d'anneau. Rappelons-la:

f: A -> B est un morphisme d'anneaux ssi:

Condition 1- f(a+b) = f(a) + f(b)
Condition 2- f(a*b) = f(a)* f(b)
Condition 3- f(1A) = 1B

avec 1A et 1B respectivement elt neutre pour la multiplication * de A et B. On suppose ici que A et B ont les mêmes lois de compositions, je crois pas que ça soit important dans mon problème. Problème qui est: je comprends pas pourquoi on fait figurer la troisième condition. En effet, f(1a) = 1b n'est-il pas assuré par f(a*b) = f(a)*f(b) ? En effet en prenant b = 1A on a par la deuxième condition:

f(a*1A) = f(a)*f(1A)
soit f(a) = f(a)*f(1A)

puisque f(a) appartient à B on en déduit finalement f(1A) = 1B. D'ailleurs dans la définition d'un morphisme dans le cas des groupes, cette mystérieuse troisième condition n'apparaît pas. Qu'en pensez-vous?

[Doraki]

Oui, f(1A) * f(a) = f(a) pour tout a.
En particulier, si 1B est dans l'image de f, alors f(1A) = f(1A) * 1B = 1B.

Mais c'est pas forcément le cas. Par exemple, prends A = Z/2Z, B = Z/6Z, f(0) = 0 et f(1) = 3.
f est compatible avec + et *, mais n'est pas considéré comme un morphisme d'anneaux.

[Manny06]

Oui, f(1A) * f(a) = f(a) pour tout a.
En particulier, si 1B est dans l'image de f, alors f(1A) = f(1A) * 1B = 1B.

Mais c'est pas forcément le cas. Par exemple, prends A = Z/2Z, B = Z/6Z, f(0) = 0 et f(1) = 3.
f est compatible avec + et *, mais n'est pas considéré comme un morphisme d'anneaux.

de même si tu prends l'application nulle de A dans B qui vérifie 1) et 2) et pas 3)