Définition de la continuité sur un sous ensemble

[chombier]

Ça fait un moment qu'un grand nombre de livres et polys m'énervent. Ils se trompent. Mais ils sont beaucoup à se tromper. Et si c'était moi qui avait la mauvaise définition ?

On considère une fonction f : X -> Y, où X et Y sont des espaces topologiques.
Soit A un sous ensemble de X.

On dit que f est continue sur A si...
1) La restriction de f à A est continue
2) f est continue en tout point de A

Qu'en pensez-vous ? Laquelle vous parait la plus logique ? La plus utile ? Bref, laquelle préférez-vous ?

[aviateur]

Bjr
C'est pas très clair ta question.

Une définition de "f est continue sur A" c'est justement 2). Alors si il y a une préférence c'est pas là que cela se situe!

[chombier]

Donc c'est bien moi qui me trompe. J'ai toujours été convaincu que la fonction suivante :



était continue sur



Des années que je peste !!! Bon après ce n'est qu'une question de définition mais quand même... je suis vexé !

[aviateur]

bonjour
C'est un peu bizarre ton histoire. Ta fonction f est définie sur donc non continue sur
puisque non continue en x= 0 et x=2.
Cependant si tu considères la fonction g définie sur [0,2] est qui vaut 1 sur [0,2] (donc la fonction restriction de f à [0,2]) elle est effectivement continue sur [0,2].
Néanmoins dans ce genre de situation un peu particulière ce qu'il faut éviter c'est de faire la confusion entre la fonction f et sa restriction g.

[chombier]

Je comprends ce que tu veux dire, et je sais que tu as raison. Je n'ai juste pas la même intuition sur ce que doit être une fonction continue sur un ensemble.

Pour moi, f est continue sur [a ; b] si elle est continue en tout point de ]a ; b[, continue à droite en a et continue à gauche en b. C'est ce qui me parait le plus naturel.

Mais je vais corriger ça : f est continue sur [a ; b] si et seulement si elle est continue en tout point de [a ; b]. Et puis c'est tout ! Il était temps que je mette ça au clair !!!!