Défi rectangle entier

[Alpha]

Bon, puisque la mode est aux défis, voici le mien, déjà posé ici il y a assez longtemps :

Soit un rectangle que l'on peut découper en petits rectangles qui ont au moins un côté entier. Autrement dit, le rectangle est constitué de l'assemblage de petits rectangles dont au moins un côté est entier.

Montrer qu'au moins un côté du rectangle est entier.

[Imod]

C'est un exercice très difficile . Pour les gens pressés , un indice s'est glissé dans le récent fil : "un problème pour l'été" .

Je n'en dirai pas plus :scotch:

Imod

[Alpha]

un indice s'est glissé dans le récent fil : "un problème pour l'été" .

Bien vu, c'est justement ce fil qui m'a fait repenser à cet exercice. :lol4:

[SimonB]

Il s'agit d'un oral d'ENS auquel il existe de multiples solutions (j'en connais au moins deux, et ai entendu parler d'une troisième). Jolies, moins jolies, qui décapitent le problème, ...

[Alpha]

Quand une réponse aura été donnée, il sera bon que tu donnes l'autre que tu connais, car je n'en connais qu'une pour l'instant. :lol4:

[Edrukel]

Une démo avec analyse connu si vous chercher sur net :

soit f(x,y)=exp(2*i*Pi*(x+y))
établir que ""pour tous a,b de IR , Int(f(t,0)dt,t=a..b)=0 ssi b-a est entier relatif"" (T)
Soit D un pavé D=[a,b]*[c,d]
Alors R=Int(f(x,y)dxdy,D)=Int(f(t,0)dt,t=a..b)*Int(f(t,0)dt,t=c..d) d'après Fubini
Donc R=0 ssi b-a ou d-c est ent relatif
Donc il en résulte que si un rectangle P est un pavage fini de rectangles (P_k) k dans [1,p] avec p entier dont au moins un côté est entier
D'où Int(f(x,y)dxdy,P)=Somme((Int(f(x,y)dxdy,P(k))),k=1..p)=Somme(0,k=1..p)=0
donc P a au moins un côté entier
enfin c'est l'idée
note: historiquement c'est la preuve originale de Brouwer

[Alpha]

C'était la démonstration que je connaissais. Maintenant, j'attends que SimonB nous fournisse l'autre preuve qu'il connaît. :happy3: