Décomposition LU d'une matrice symétrique définie positive

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PythagoreSauvage
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Décomposition LU d'une matrice symétrique définie positive

par PythagoreSauvage » 28 Sep 2022, 16:58

Bonjour à tous,

je lisais une preuve de l'existence de la factorisation de Cholesky pour une matrice hermitienne définie positive, à savoir pour une matrice hermitienne définie positive il existe une unique matrice triangulaire supérieure à coefficients diagonaux positifs telle que .

Dans cette preuve on utilise le fait que admet une décomposition (car tous ses mineurs sont positifs), où est triangulaire inférieure et est triangulaire supérieure.
La décomposition n'est pas unique si on impose pas que soit unitaire je crois.

Après on fait intervenir une matrice diagonale telle que de manière à pouvoir écrire . En fait, c'est là que j'ai un souci car pourquoi tous les coefficients diagonaux de seraient-ils positifs pour pouvoir prendre leurs racines ?

Est-ce bien parce que si jamais un des est tel que alors on peut quand même trouver une décomposition pour avec à coeffs diagonaux positifs.

Par exemple si on a

Et en notant et reste bien triangulaire inf, triangulaire sup et on a bien à coeffs diagonaux positifs avec

J'ai bon ?



 

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