Matrice définie positive et symétrique

[Nightmare]

Bonjour :happy3:

Je vous propose un exercice d'oral de l'X très jolie dans sa solution. (source : Leichtam)

Montrez que la matrice est définie positive et symétrique

Amusez-vous bien!

:happy3:

[Joker62]

La symétrie je sais faire :)

[Nightmare]

Je suis sûr qu'il y en a qui plancheraient quand même un quart d'heure sur la symétrie :lol3:

Au contraire, il y en a qui torcheraient le caractère définie positif en 2 minutes et ça c'est rageant :lol2:

[Joker62]

Pour la définie positivité, j'ai ressorti un vieux cours d'analyse matricielle lol

[MODE n'imps]La matrice est à diagonale strictement dominante
Les coeffs de la diagonales sont tous positifs
Donc la partie réelle des valeurs propres est positive
Comme elle est symétrique, les valeurs propres sont réelles et sont toutes positives strictement.[/Mode n'imps]

Désolé la matrice n'est pas à diagonale strictement dominante

[Nightmare]

Ca aurait pu marcher :lol3:

Au lieu de sortir un vieux cours d'analyse matricielle, sort plutôt un cours d'analyse tout court :lol3:

[yos]

vp évidente : .

[Nightmare]

Et sans calcul de vp?

[ThSQ]

C'est pas la seule vp.

Sans détail vu que c'est dans le Leichtman (d'après Nightmare) et que c'est largement inspiré du même résultat sur la matrice de Hilbert ( http://fr.wikipedia.org/wiki/Matrice_d%C3%A9finie_positive ) :


avé

Suffit de montrer que f(x) > 0 pour 0 < x < 1 ce qui se fait par récurage par ex.

[Nightmare]

Par récurage?

[yos]

C'est pas la seule vp.

Ah oui, ça prétendais pas plier l'exo.
Pour n=2 et 3, les vp sont toutes rationnelles. Au delà faudrait regarder.

[ThSQ]

Par récurage?

Tu n'as jamais fait de raisonnement par récurage ? On en sort lessivé bien souvent