Décomposition en produit semi direct

[Gogogo99]

Bonjour, quelque chose me perturbe beaucoup dans l'énoncé de ce résultat:

http://www.les-mathematiques.net/b/c/a/node16.php

c'est la dernière phrase de la proposition.

On a donc le premier isomorphisme entre G et le produit semi direct de i(N) par H (avec une barre) : d'accord.

Et il en déduit l'isomorphisme entre G et le produit semi direct de N par H, soit disant parce que i(N) est isomorphe à N et que s définit un isomorphisme entre H (barre) et H.

Est-ce que cela signifie que si, plus généralement, j'ai un groupe G isomorphe à un produit semi direct de A par B, si A est isomorphe à A' et B isomorphe à B' alors G est isomorphe au produit semi direct de A' par B' ?

[Ben314]

Ben... oui... (et ça me semble totalement trivial)

Attention tout de même au fait que pour définir un produit semi direct "externe" (i.e. entre deux groupes qui ne sont pas des sous groupes d'un même groupe G) il faut non seulement se donner les deux groupes, mais aussi le morphisme de l'un des deux dans l'ensemble des automorphisme de l'autre (que l'on met souvent en indice du symbole "produit semi-direct")

Tout ça juste pour dire que la phrase "Soit G le produit semi direct de H avec K" est... insuffisante...