Produit semi-direct et compagnie

[Archytas]

Salut,
J'essaie de comprendre les propriétés élémentaires de produits semi-direct de groupes.
On a une suite exacte : 1 -> N -> G -> H -> 1 et on dit que s'il existe un relèvement de H dans G (i.e. un sous groupe de G isomorphe à H) alors G est isomorphe à un produit semi direct de N par H.
Comme exemple d'application on a la classification des groupes d'ordre pq avec p<q premiers. On dit que si Q est un q-Sylow c'est le seul et il est distingué et on dit qu'alors n'importe quel p-Sylow est un relèvement de G/Q. Comment on le sait?
Est ce que vous auriez un exemple de suite exacte avec N distingué et pourtant tel que H n'aie pas de relèvement dans G? En gros on a une suite exacte sans produit direct ou semi-direct?
Merci d'avance

[Ben314]

Oui, et c'est pas trop dur :
1 -> {1,-1} -> {1,i,-1,-i} -> {1,-1}
où la première application est x->x et la deuxièmes est x->x².

P.S.1 : Dire qu'il existe un relèvement de H dans G, c'est pas la même chose que de dire qu'il existe un sous groupe de G isomorphe à H. Voir l'exemple ci dessus où il n'y a pas de relèvement bien qu'il existe un sous groupe de G isomorphe à H.
P.S.2 : ça sert à rien de préciser que N est distingué : si la suite est exacte, il l'est forcément vu que c'est le noyau de la deuxième application.

[Archytas]

Ah d'accord, dans le livre que j'ai ils disent "s'il existe un relèvement de H, i.e. un sous groupe de G tel que la restriction de la projection à ce groupe soit un isomorphisme sur H". Donc oui on doit garder le même morphisme et pas prendre un sous groupe quelconque désolé ^^. C'est ça de manger la moitié des mots. Et ce qui nous dit que {1,i,-1,-i} n'est pas isomorphe à {-1,1}² c'est que i est d'ordre 4? C'est aussi ce que confirme la propriété? (pas de relèvement donc pas de produit semi direct)
Et pour les groupes d'ordre pq, si on considère 1 -> Q -> G -> G/Q ->1 et qu'on considère la restriction à P, un p Sylow, puisque P n'est pas inclus dans Q la restriction de la projection à P est un isomorphisme par un argument de cardinalité, c'est ça?
Merci Ben

[Ben314]

Concernant l'exemple, tu peut effectivement dire de façon théorique que {1,i,-1,-i} ne peut être isomorphe à {-1,1}² car le premier est cyclique et pas le second, mais tu peut aussi vérifier "à la main" que, quelque soit l'antécédent choisi pour -1 par la fonction x->x² (donc i ou -i), l'application obtenue n'est pas un morphisme vu que (-1)²=1 alors que l'image de -1 (donc i ou -i) n'a pas un carré égal à 1.

Concernant ton truc sur les groupes d'ordre pq, si je comprend bien, tu prend un sous groupe P de G qui est d'ordre p et non contenu dans Q ?
Si c'est bien ça, effectivement, PnQ est un sous groupe strict de P donc est forcément égal à {1} ce qui signifie que la restriction à P de G->G/Q est injective.

[Archytas]

Ok super merci !
Et comme p et q sont premiers P est automatiquement non contenu dans G ^^ donc c'est parfait !