Abelianisé d'un produit semi direct

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Mix210
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Abelianisé d'un produit semi direct

par Mix210 » 24 Jan 2022, 06:13

Bonjour s'il vous plaît je suis buté sur un exercice . l'énoncé est le suivant:
Soit £: G2-----> Aut(G1)
A quelle(s) condition(s) sur £ peut-on former un produit semi direct Ab(G1)×Ab(G2)?
Dans le cas échéant, a t-on Ab(G1&G2) isomorphe a Ab(G1)∆Ab(G2)
& désigne le produit produit semi direct suivant £ et ∆ un produit semi direct. Et Ab(G1) l'abélianisé de G1
Jusqu'à présent tout ce que j'ai pu trouver c'est que si £=id alors Ab(G1×G2) est isomorphe a Ab(G1)×Ab(G2)



GaBuZoMeu
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Re: Abelianisé d'un produit semi direct

par GaBuZoMeu » 24 Jan 2022, 15:59

Bonjour,

Si est un morphisme de groupes, on fabrique le produit semi-direct avec.
Si on abélianise ce produit semi-direct, on trouve bien sûr un groupe abélien, qui ne peut donc pas être un produit semi-direct non trivial : c'est forcément un produit direct. Je ne comprends pas bien ta question. Peux-tu clarifier ?
Modifié en dernier par GaBuZoMeu le 24 Jan 2022, 19:19, modifié 1 fois.

Mix210
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Re: Abelianisé d'un produit semi direct

par Mix210 » 24 Jan 2022, 18:34

Ma question : lorsqu'on abelianise ce produit semi direct peut on avoir un produit semi direct? Et a ton un isomorphisme entre l'abélianisé du produit semi direct et le produit semi direct des abelianisé ?

GaBuZoMeu
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Re: Abelianisé d'un produit semi direct

par GaBuZoMeu » 24 Jan 2022, 19:18

J'ai déjà écrit qu'un groupe abélien ne peut pas être un produit semi-direct non trivial, c'est forcément un produit direct. Ne comprends-tu pas ?

Mix210
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Re: Abelianisé d'un produit semi direct

par Mix210 » 26 Jan 2022, 06:11

GaBuZoMeu a écrit:J'ai déjà écrit qu'un groupe abélien ne peut pas être un produit semi-direct non trivial, c'est forcément un produit direct. Ne comprends-tu pas ?

Si
Merci
En fait je ne savais pas qi'un groupe abélien ne peut qu'être un produit semi direct trivial de ses sous groupe

 

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