Decomposition en element simple

[jehu73]

Bonjour à tous

j'ai a décomposer en élément simple cette équation
(3x5+x4-10x3-x²-4x+8)/(x²-4)(x²+x+1)

je sais que x²+x+1 est irréductible

je suis partie pour transformer cette équation en

A/(x+2) + B/(x-2) + (cx+d)/(x²+x+1)
je trouve A=1 B=1 C=5 D=-2 mais ca ne marche pas

j'ai essayé de faire une division euclidienne de (3x5+x4-10x3-x²-4x+8)/(x²+x+1) pour me trouver sous la forme

a/(x+2) + b/(x-2) +cx+d + (ex+f)/(x²+x+1) + (gx+h)/(x²+x+1)
mais ca ne marche pas nonplus

avez vous une démarche de départ car je pense que je ne décompose pas correctement

merci pour votre aide

[zygomatique]

salut

et pourquoi ça ne marche pas ?

[jehu73]

Au final les valeurs ne sont pas identique.mais en réfléchissant je pense qu il faut d abord faire la division euclidienne du numérateur avec le dénominateur développé
Je trouve 3x -2 + (x^3+5x^2)/(x^2-4)(x^2+x+1)

Et je met ensuite sous la forme A/(x-2) + B/(x+2) + (Cx+D)/(x^2+x+1)

Est ce la bonne résolution?

[zygomatique]

(3x5+x4-10x3-x²-4x+8)/(x²-4)(x²+x+1) = a/(x+2) + b/(x-2) + (cx+d)/(x²+x+1)

avec cette écriture il est aisé d'avoir a et b

(multiplier par x + 2 et faire x = -2 // multiplier par x - 2 et faire x = 2)

ensuite puisque c'est vrai pour tout x on peut donc prendre des valeurs particulières simples (du genre x = 0 et x = 1 (ou x = -1)) puis résoudre un système d'inconnues c et d

...

[jehu73]

Oui je pense mais je suis pas sur si l écriture de résolution est juste

[zygomatique]

moi pas comprendre toi ....

[chan79]

(3x5+x4-10x3-x²-4x+8)/(x²-4)(x²+x+1) = a/(x+2) + b/(x-2) + (cx+d)/(x²+x+1)

...

Je dirais:



Comme l'a écrit jehu73 , 3x-2 peut s'obtenir par une division euclidienne

[zygomatique]

ha oui bien sur !!!

il y a la partie entière !!!

:hum:

[jehu73]

Malheureusement je trouve A=1 B=-1 D=-1 et C=6...enfin si je ne me suis pas trompe. Mais le problème c est que l égalité finale n est plus bonne... :mur:
Pourtant ça a l air d être là bonne démarche avec la division euclidienne
Qu en pensez vous

[jehu73]

Oooppsss..j ai bien fait une erreur..donc au final a=1 b=-1 c=1 et d=1
Et ça marche..
Merci à tous pour votre aide