Decomposition en element simple

[dtg]

Bonjour a vous :we:

Voila je ne comprends pas trop comment faire pour obtenir le B dans la formule suivante:

(10x^2-63x+29) / [(x-3)(x-4)^2]=A/(x-3) + B/(x-4) +C/(x-4)^2

ps: Pour trouver la formule plus lisible //fr.wikipedia.org/wiki/Fraction_partielle dans le paragraphe sur "Répétition d'un facteur de premier degré au dénominateur"
comment inserer une image dans nos messages? :hum:

Merci pour votre aide

[klevia]

Salut, tu réduits au même dénominateur ton second membre et tu identifies avec le 1er membre
Tu devrais obtenir une système de 3 équation à 3 inconnues...
Si tu n'y arrives pas, je regarderai de plus près ...

[nicollivier]

Ma méthode:
Je mets sous le même dénominateur, après je regroupe les x² et les x. Et après je peux identifier A,B et C.

Nico

Edit: expliqué en plus clair par Klevia
Je trouve A=20, B=-10, et C=27

[dtg]

J'avoue ne pas trop comprendre...
N'existe-t-il pas d'autre moyen pour calculer B?
Car la factorisation du second membre fait partie de la decomposition en element simple... alors pourquoi remettre sur le meme denominateur?
Desolé si je fais fausse route lol

[pouik]

Bonjour a vous :we:

Voila je ne comprends pas trop comment faire pour obtenir le B dans la formule suivante:

(10x^2-63x+29) / [(x-3)(x-4)^2]=A/(x-3) + B/(x-4) +C/(x-4)^2

ps: Pour trouver la formule plus lisible //fr.wikipedia.org/wiki/Fraction_partielle dans le paragraphe sur "Répétition d'un facteur de premier degré au dénominateur"
comment inserer une image dans nos messages? :hum:

Merci pour votre aide

salut :we: ,
Ta DES part mal dans la mesure où il manque quelqu-chose, regarde bien sur le dernier élément simple :


Donc ensuite pour ta question, il suffit de comprendre ce que l'on fait quand on décompose en éléments simples. Et là t'as de la chance car c'est pas trop compliqué... :++:

Voyons de quoi il s'agit :
Tout d'abord il faut etre convaincu de la forme de la DES à obtenir, là je pense que ca ne te poses pas trop de problème mis à part les termes oubliés !! :marteau:
Ensuite, pour ce genre d'exo on procède par identification, donc enfait il faut que tu mettes tes 3 fractions au même dénominateur. Ainsi tu auras que les deux fractions de chaque côté de l'égalité sont égales d'une part (évident!! :hein: ) et ensuite elles ont le même dénominateur.
Donc forcément elle doivent avoir le même numérateur. Et là l'astuce est d'écrire le numérateur de la fraction de droite sous la forme d'un trinôme du second degré mettons !! et enfin tu fini par identification en disant que :
et donc tu obtient un système de trois équation à trois inconnues que tu peux résoudre : pivot de Gauss, Formules de Crammer... agit selon ton bonheur.



En espérant avoir été suffisament clair

[pouik]

Ma méthode:
Je mets sous le même dénominateur, après je regroupe les x² et les x. Et après je peux identifier A,B et C.

Nico

Edit: expliqué en plus clair par Klevia
Je trouve A=20, B=-10, et C=27

tout d'abord c'est risqué de l'écrire sous cette forme, vaut mieux ma forme avec Cx+D, bon là avec mes notations, on a de la chance car C=0 mais dans d'autres cas, tu vas dans le mur. :mur:

Sinon à la calculette, cette fois-ci avec tes notations, je trouve : :hum:

[klevia]

Resalut,
Je confirme la derniere solution, je trouve pareil !!

[nicollivier]

salut :we: ,
Ta DES part mal dans la mesure où il manque quelqu-chose, regarde bien sur le dernier élément simple :

Je ne pense pas que l'on doit poser " Cx+D".
J'ai appris que l'on ne posait ceci que quand on avait un dénominateur de la forme " Zx²+Yx+w". Mais je peux me tromper?! Car ça ne fait que quelques jours que j'ai découvert la DES, et je l'ai appris ICI


Nico

[nicollivier]

Bon après avoir fait un peu plus attention dans mes calculs, je trouve pareil que vous.

[pouik]

bah oui mais . non ?

[nicollivier]

bah oui mais . non ?

=> Oui c'est sur mais si j'ai bien compris le principe de la DES, c'est plus simple si on laisse sous la forme (x-4)², car on devra trouver un élément simple de la 1ère espèce. Non?!

[Joker62]

+1 pour Nicollivier

Le dernier dénominateur étant (x-4)², on se doit de poser comme numérateur un polynôme de degré 0

[BQss]

Salut, on décompose comme ca,



Après pour simplifier, on ne refactorise pas pour identifier en pratique c'est trop long.
On factorise des deux cotés par (x-4)^2, et on obtient C en resolvant l'égalité pour x=4, ou les termes "en A" et "en B" s'annule dans le membre de droite.

On trouve A pareillement en factorisant des deux coté par (x-3) et en prenant x=3.

Ensuite tu prends l'égalité en un point quelconque avec A et C connu et tu trouves le B.

Tu peux aussi multiplier par x des deux cotés, prendre la limite en + l'infini, ce qui va encore plus vite pour trouver B:
i.e
cela donne:
apres multiplication par x et passage a la limite:
10=A+B et vu que tu as deja A...

[BQss]

donc en fait tu résouds:
A+B=10 (multiplication par x et passage a la limite)
C=10*4^2-63*4+29 =-63 (multiplication par (x-4)^2, égalité prise en 4)
A=10*3^2-63*3+29=-70 (multiplication par (x-3), égalité prise en 3)
B=10+70=80 (identification du B, grace à A+B=10 en remplacant A)


PS: salut pouik,
et ca c'est faux (tu trouveras tous le temps C=0 comme sur ta calculette scientifique ... Ta méthode n'est pas correct et tu trouveras tous le temps C=0 dans ce que tu as posé, il n'y aucun risque en appliquant la bonne méthode , enfin on ne résoud presque jamais de système inéaire en pratique, il y a beaucoup plus court... Les cas qui peuvent poser problème(et ou on garde un terme en (ax+b)/(P(x)), P de degré 2) ( c'est quand le dénominateur n'admet pas que des racines réelles, ce qui n'est pas le cas ici ou le polynome est déja factorisé dans R...) )

, ce qui est juste c'est:

[pouik]

Bah pourtant on m'a appris que le numérateur d'un élément simple devait avoir un degré égal à celui du dénominateur - 1,
Je suis vraiment surpris car quand on calcule une DES pour trouver une transformée de Laplace inverse et quand on a un élement simple avec un dénominateur de degré 2 par exemple, on cherche un numérateur de degré 1 ????? :hum: :hum:

[dtg]

Merci a vous tous pour vos reponses !!! :king2:

Je vais adopter la facon de BQss avec passage a la limite :we:

Merci encore

Bonne journée a vous tous

[BQss]

Bah pourtant on m'a appris que le numérateur d'un élément simple devait avoir un degré égal à celui du dénominateur - 1,

il y a des éléments simples et des parties polaires, en pratique on ne passe meme pas par la partie polaire et on ecrit deja tous les elements simples ou la partie polaire a été implicitement décomposé en élément simple ... Ta décomposition n'est pas une décomposition en éléments simples vu qu'il reste une partie polaire avec un polynome admettant des racines réelles au dénominateur ( (x-4)^2 ).

Il y a aussi les éléments simple de seconde espece, du type (ax+b)/(P(x)) P de degré 2, que l'on recherche lorsque le polynome P n'admet pas de racines réelles, ici P=(x-4)^2 n'admet que des racines réelles...