Decomposition en element simple

par **Anonyme** » 18 Mar 2006, 19:13

commenr decomposer sur R,en element simple ,la fraction rationelle:
(2X²-20X-4)/(X^4-1) en sachant que x^4+4=(X²+2X+2)(X²-2X+2).

par **Anonyme** » 18 Mar 2006, 19:24

je me suis tromper il faut decomposer
(2X²-20X-4)/(X^4+4)

par **allomomo** » 18 Mar 2006, 19:44

Salut,

par **Anonyme** » 18 Mar 2006, 20:02

quand ;on decompose en element simple, le numerateur ne devrait pas contenir que des constante ou des plolynomes de degre1?

par **abcd22** » 18 Mar 2006, 20:40

Si. Tu peux par exemple chercher la décomposition dans C (ce n'est pas très dur puisqu'il n'y a que des pôles simples dans C) et regrouper les termes conjugués pour trouver la décomposition dans R. Ou alors écrire la forme de la décomposition sur R et trouver des équations entre les coefficients en regardant des valeurs particulières de X, et en multipliant tout par X et en regardant la limite en l'infini. On peut aussi tout remettre au même dénominateur et identifier les coefficients. Je ne sais pas ce qui est le plus rapide ici.

par **yos** » 18 Mar 2006, 21:18

Tu as donc les dénominateurs. Les numérateurs correspondants s'écrivent ax+b et cx+d et tu as diverses techniques pour les trouver.

par **Anonyme** » 19 Mar 2006, 10:24

j'ai reussi a la decomposer en element simple et je trouve que
(-X+4)/(X+2X+2)+(X-6)/(X²-2X+2).
apres je dois calculer la somme de 0 a n de (-X+4)/(X+2X+2)+(X-6)/(X²-2X+2).
Comment je pourrais faire.on me donne une indication:substituer X par X+2 mais ca me donne rien d'interressant.
Que puis-je faire?

par **abcd22** » 19 Mar 2006, 11:14

Il ne manque pas quelque chose dans la somme ? parce que rien ne dépend de l'indice de sommation.

par **yos** » 19 Mar 2006, 11:27

C'est X qui varie de 0 à n je dirai.
substituer X par X+2 est presque la bonne idée.
Car (X+2)²-2(X+2)+2=X²+2X+2. Et pour les numérateurs c'est bon aussi.
Ta série est télescopique.

par **Anonyme** » 19 Mar 2006, 20:30

le probleme c'est que le deuxieme denominateur X²+2X+2 va changer et donner (X+2)²+2(X+2)+2=X²+6X+10.

par **yos** » 19 Mar 2006, 22:42

Pose

.
Ta somme est

,
Ce qui fait f(n+2)+f(n+1)-f(0)-f(1).

par **Anonyme** » 19 Mar 2006, 22:53

je comprends commen tu fais?

par **Anonyme** » 19 Mar 2006, 23:06

je voulais dire que je ne comprenais pas comment tu faisait.

par **yos** » 20 Mar 2006, 13:20

Où est le problème ??

,
Ce qui fait

.
Les autres termes se sont entretués. C'est ça "télescopique" !!

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