Decomposition de Dunford (question)

[Don vito]

Salut,
Svp je n'arrive pas à comprendre le raisonnement avec les projecteurs dans la démo de Dunford, qlq1 pourrait il m'aider?

Tout ce que je sais dire c'est que l'endomorphisme v induit par u (endo en question) sur l'un des sous espaces caracteristiques vérifie (v-lamba.Ide)^multiplicité = 0.donc : (v-lamba.I) nilpotent donc semblable à une matrice triangulaire d’éléments diagonaux tous nuls qu'on notera par exemple To
Ainsi: v est semblable à la somme To + lambda.Ide
On notera ensuite D la matrice diagonale d'ordre n qui comporte , dans l'ordre , les lambda.
N d'ordre n , diagonale par blocs, dont les blocs diagonaux sont les To.

C'est là ou s’arrête mon raisonnement est il d'abords correcte(sans lacunes)?

Merci

[Maxmau]

Salut,
Svp je n'arrive pas à comprendre le raisonnement avec les projecteurs dans la démo de Dunford, qlq1 pourrait il m'aider?

Tout ce que je sais dire c'est que l'endomorphisme v induit par u (endo en question) sur l'un des sous espaces caracteristiques vérifie (v-lamba.Ide)^multiplicité = 0.donc : (v-lamba.I) nilpotent donc semblable à une matrice triangulaire d’éléments diagonaux tous nuls qu'on notera par exemple To
Ainsi: v est semblable à la somme To + lambda.Ide
On notera ensuite D la matrice diagonale d'ordre n qui comporte , dans l'ordre , les lambda.
N d'ordre n , diagonale par blocs, dont les blocs diagonaux sont les To.

C'est là ou s’arrête mon raisonnement est il d'abords correcte(sans lacunes)?

Merci

bj
voici le plan de la preuve de "Dunford"
en espérant que ça t'aidera

u: endomorphisme trigonalisable de E
F1,F2,………….., Fk les SEC associés aux vp l1, l2, …., lk
D’après le lemme des noyaux, E est somme directe des Fi et les projecteurs p1, p2, ….., pk associés à cette somme directe sont des polynômes en u.
L’endomorphisme v = l1p1 + l2p2 +………….+lkpk est diagonalisable (pour le voir prendre une base adaptée à la somme directe) et commute avec u (puisque c’est un polynôme en u). Chaque Fi est donc stable par v.
L’endomorphisme w = u - v est nilpotent (voir sa restriction à chaque Fi) et commute avec u et v (puisque c’est un polynôme en u)
D’où l’existence de la décomposition de Dunford: u = v + w
L’unicité résulte du fait que pour toute décomposition de Dunford :
u = V + W, on a: V=v et W=w