Décomposition de Dunford

[Aspx]

Bonjour, j'ai une question sur la décomposition de Dunford.

Soit un corps quelconque et . On suppose que le polynôme caractéristique de est scindé sur . On sait qu'il existe alors diagonalisable et nilpotente telles que et de plus et sont uniques.

Vu que la trigonalisation s'applique aussi (polynôme caractéristique scindé sur ) on peut écrire
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Mais alors en posant et
On a
d'où la décomposition de Dunford... sans l'aspect commutatif ! Est-ce donc cet aspect commutatif qui fait l'intérêt de Dunford ?

[leon1789]

oui ! :we:

[leon1789]

en fait (de mémoire), les matrices D et N sont des polynômes en la matrice A...

[Aspx]

Oui ils appartiennent à c'est ça. Ok... en effet c'est essentiel (exponentielle, binôme...). C'est parce que je suis sur un exercice qui utilise les exponentielles de matrices

Soient et la solution générale de l'équation différentielle . On a alors
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Pour cela j'utilise la décomposition de Dunford mais ça coince au moment de faire le produit car on est pas dans la même base. J'ai pensé à la trigonalisation simultanée, est-ce une bonne piste ?

[Antho07]

Personnelement j'utiliserais les projecteurs spectraux pour calculer l'exponentielle d'une matrice.

[Aspx]

Personnelement j'utiliserais les projecteurs spectraux pour calculer l'exponentielle d'une matrice.

n'est pas forcément diagonalisable.

Vu les hypothèses et en posant A=D+N (Dunford) on obtient
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Il faudrait en déduire que les valeurs propres de (qui sont celles de ) ont une partie réelle forcément négative.

[Antho07]

L'exponentielle de la partie nilpotente peut aussi s'exprimer avec l'aide des projecteurs spectraux.

Soit


donc

Si u est diagonalisable alors,



où est la projection sur parallement à


Maintenant si u n'est pas diagonalisable



ou

est l'ordre de multiplicite de dans le polynome minimal.

la projection sur parrallement a la somme directe des autres sous esapces caracteristiques.

La deuxieme somme correspond a la partie nilpotente

[Aspx]

L'exponentielle de la partie nilpotente peut aussi s'exprimer avec l'aide des projecteurs spectraux.

Les projecteurs spectraux pour oui mais comment faire le lien avec ?

[Antho07]

En faite, commme on a :



on a



puis calculer revient au même que de calculer



et apres on utilise jordan dunford


la deuxieme exponentielle est une somme finie car le truc dans l'expo est nilpotent


J'arrete les modifications, c'est bon, desole je voulais pas faire 10 posts

[Antho07]

n'est pas forcément diagonalisable.

Vu les hypothèses et en posant A=D+N (Dunford) on obtient
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Il faudrait en déduire que les valeurs propres de (qui sont celles de ) ont une partie réelle forcément négative.

Je me demande si en utilisant



et en regoupant par paire de conjugué (la matrice est relle au depart).

On aurait pas un truc du style( en considerant une paire)

(bon ya du t dans les 2 matrices N1 et N2 qui sont nilpotente mais ce sera tout ecraser par l'exponetielle dans le calcul de limite).

apres en ecrivant

et en mettant en facteur, on obtient



et apres faudrait regarder si ya pas des rapports entre N1 et N2, Pi1 et Pi2
de maniere a faire apparaitre un cosinus (faire sauter le ) qui doit bien sauter a un moment car la matrice de depart est reelle, j'entend par faire sauter transformer sa en cosinus ou sinus).

Le but etant de montrer que le terme preponderant est et donc que si la limite en l infini est 0, le a est forcement negatif



EDIT :Il y a certainement 1000 fois plus simple en partant simplement de exp(td) exp(tN)

Faire le truc des projecteurs spectraux uniqueent sur exp(td) en laissant exp(tN) en facteur

[Aspx]

Mon prof à l'époque m'avait dit que c'était gagné en écrivant Dunford. Après c'est un exo de l'X aussi donc bon...

[Antho07]

Mon prof à l'époque m'avait dit que c'était gagné en écrivant Dunford. Après c'est un exo de l'X aussi donc bon...

je serais tenter de dire le (e^Nt) on s'en balance, il sera dominé par le exp(tD).

apres diagonalisons e^(tD).

on a alors e^(td)=P e^(Diag t) P^(-1).

Je propose cela



e^(Diag t) est une matrice diagonale ou les coeff diagonaux sont de la forme

e^{a+ib)

on ecrit e^(Diag t) = e^(at)+e^(bit)

e^(bti) on doit pouvroir l'ecrire comme cos(bt)+isin(bt)

donc seule le e^(at) va jouer dans la limite.....


J'ai du mal a trouver une reponse clair et rigoureuse...

[Aspx]

Je vois très bien ce que tu veux dire, après produit de toutes les matrices on aura une expression exponentielle polynomiale, mais comment justifier qu'aucune simplification foireuse apparait... (type cosinus, sinus)

[Antho07]

http://sebastien.pellerin.free.fr/fichiers/agreg/expo.pdf

Lemme 3.5 p 12

Mais dans ton cas le polynome caracteristique etait scindé au depart??

(j'ai rien dit , on a qu'a passer dans la cloture algebrique )

[Aspx]

Oui, sur qui est algébriquement clos...

[Antho07]

Oui, sur qui est algébriquement clos...

Bon ben t'a repondu pendant que j'editais :ptdr:

[Aspx]

Merci pour le lien Antho07 ! Reste plus qu'à montrer que

[Antho07]

Merci pour le lien Antho07 ! Reste plus qu'à montrer que

Mais X(t) est bien de la forme

non??

[Aspx]

Non (ça serait une matrice de taille n sinon)

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[Antho07]

Non (ça serait une matrice de taille n sinon)

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ben dans ce cas si X(t) tend vers 0 e^tA tend vers 0 et reciproquement.
sauf si X(t)=0 (donc que Xo=0)