Decomposition de dunford

[elvis77]

Bonsoir,

Je n'arrive pas à démontrer l'assertion suivante :

on a la décomposition de dunford M=D+N où D diagonalisable et N nilpotente.

Si M est inversible alors D aussi mais je ne vois pas pourquoi.

Merci pour votre aide.

Cordialement.

[adrien69]

Salut,
Dans Dunford, on a DN=ND, donc D et N sont cotrigonalisables (merci jlb).
Et donc dans une autre base D est diagonale (parce que si elle est triangulaire, vu qu'elle est diagonalisable elle est diagonale) et N est triangulaire stricte. CQFD.

[jlb]

N et D commutent, tu peux alors trigonaliser simultanément N et D sur C.
Dans cette base, N est semblable à une matrice triangulaire avec des 0 sur la diagonale et D est triangulaire avec ses valeurs propres sur la diagonale. Du coup, si M est inversible, son déterminant est non nul, donc les valeurs propres de D sont toutes différentes de 0.

[jlb]

Salut Adrien tu voulais dire "cotrigonalisable"

Salut,
Dans Dunford, on a DN=ND, donc D et N sont codiagonalisables.
Et donc dans une autre base D est diagonale et N est triangulaire stricte. CQFD.

[jlb]

Salut,
Dans Dunford, on a DN=ND, donc D et N sont cotrigonalisables (merci jlb).
Et donc dans une autre base D est diagonale (parce que si elle est triangulaire, vu qu'elle est diagonalisable elle est diagonale) et N est triangulaire stricte. CQFD.

Salut Adrien,
Matrix([1,1], [0,2]) est triangulaire et diagonalisable. Je n'ai pas les connaissances mais je ne pense pas que la base qui cotrigonalise D et N rende D diagonale mais à la fin cela ne change pas la conclusion, la diagonale de cette matrice triangulaire est composée des valeurs propres de D, et elles sont nécessairement non nuls quand M est inversible.

[elvis77]

Il suffisait que je me place dans la base ou D est diagonale, N restant toujours niloptente car triangulaire supérieur et par un argument de déterminant j'ai le produit des valeurs propres de D qui est non nul donc D est inversible.
Merci pour vos réponses !
Cordialement.

[Ben314]

Salut,
Si où et nilpotente d'ordre alors donc :



On en déduit que, si est inversible, alors aussi (et on a même équivalence vu que et jouent ici le même rôle)

[elvis77]

Je suppose que vous vouliez écrire N à la place de D dans cette égalité et ensuite utiliser la nilpotence de N pour avoir ?

Merci, finalement en relisant ma réponse précédente, qqch ne marchait pas.
Cordialement

[Ben314]

Effectivement, c'est ma fourche qui a langué... :triste: