Décomposition de Dunford

[cricri971]

Bonjour,

J'ai u petit soucis avec la Décomposition de Dunford...;
Je comprend le théorème mais je ne sais quand il faut utiliser cette décomposition??

Par exemple j'ai une matrice

A = 3 2 -2
-1 0 1
1 1 0
On me demande de trigonaliser cette matrice et de calculer A^n

Je trouve que son polynome caractéristiqe c'est (1-X)^3
Donc la valeur propre c'est 1

Après je vois dans le crrigé que l'on applique Dunford et qu'on écrit
D=P(1 0 0)P-1
0 1 0
0 0 1

Et apès ily a marqué:

A=I+N alors que Dunford c'est A=D+N

Je ne comprend pas du tout,j'esper vraiment que vous pourrez m'aider

Merci d'avance

[Nightmare]

Salut,

ben oui mais ici D=I ! l'identité est bien diagonale non ?

[Joker62]

D c'est la matrice diagonale formée des valeurs propres.
Dommage qu'ici les valeurs propres soient toutes égales à 1 lol

Donc D = I_3 :p

[cricri971]

Ha oki je ne pensais pas qu'on pouvait mettre ca comme ca... J'ai compris :id:

Par contre, en générale on utilise Dunford pour calculer A^n d'une matrice A?

[abcd22]

Bonjour,

D c'est la matrice diagonale formée des valeurs propres.

Non, en général la décomposition de Dunford c'est A = D + N avec D diagonalisable (et qui a les mêmes valeurs propres que A, avec mêmes multiplicités), N nilpotent et DN = ND (pour utiliser la formule du binôme de Newton c'est mieux).

Donc D = I_3 :p

Parce que D a les valeurs propres 1, 1 et 1 et que la seule matrice de dimension 3 à avoir ces valeurs propres est l'identité. Si on trouvait plusieurs valeurs propres différentes on ne pourrait pas conclure aussi aisément. Par exemple si je prends la matrice triangulaire supérieure :
, la matrice D de la décomposition de Dunford n'est pas la matrice diagonale , car sinon on aurait , et ces deux matrices ne commutent pas.

[Joker62]

Merci pour la correction abcd22 :)
J'avais pas le souvenir de ce détail (Bon détail qui n'en est pas vraiment un)

Merci encore :)

[abcd22]

Si on trouvait plusieurs valeurs propres différentes on ne pourrait pas conclure aussi aisément.

En fait si on trouve 3 valeurs propres distinctes comme dans l'exemple que j'ai donné, comme on est en dimension 3 la matrice est diagonalisable donc on peut aussi conclure facilement que A = D et N = 0, ce qui n'est pas très intéressant. C'est si on trouvait 2 valeurs propres distinctes qu'il y aurait des calculs à faire pour trouver si A est diagonalisable ou non puis pour calculer la décomposition de Dunford dans le cas où A n'est pas diagonalisable.