Cosinus et sinus

par **mydoudouitsk** » 29 Nov 2010, 19:15

Bonsoir,

Je suis en train de cherché la solution d'un exo sur l'addition de cosinus mais ma méthode de résolution est beaucoup trop "brutale" et donc trèèèèèès longue, ce qui multiplie mes erreurs.

Voici l'énoncé:

Résoudre dans R: cosx+cos(3x)+cos(5x)+cos(7x)=0

Perso j'ai trouvé l'expression de cos(2x) pour dire que cos(3x)=cos(2x+x) et de même pour la suite de chaque terme, mais c'est vraiment trop long à écrire pour cos(5x) j'imagine même pas pour 7x.

Auriez-vous une meilleure idée?

J'avais pensé aux complexes avec la formule de Moivre mais n'ayant pas de sinus je pense que je finirais par tourner en rond si j'additionnais et soustrayais des sinus...

par **Ericovitchi** » 29 Nov 2010, 19:19

Oui moivre.
ce que tu dois trouver est la partie réelle de

Mais ça c'est la somme des termes d'une suite géométrique de raison

Ça s'écrit

somme des termes d'une suite géométrique de raison q². Te rappelles tu de la formule ?

par **mydoudouitsk** » 29 Nov 2010, 19:44

alors le formule oui, c'est

par contre en ce qui concerne la suite géométrique je ne vois pas du tout!
Ca peut sembler immédiat, mais pourriez vous m'expliquer comment "voir" une suite géométrique avec des exponentielle?
En ce qui concerne la partie réelle de

, je suis d'accord.

par **mydoudouitsk** » 29 Nov 2010, 20:06

je commence à comprendre mais ne serait-ce pas plutôt une somme de k=0 à 3 de

?

par **Sylviel** » 29 Nov 2010, 20:44

tu peux aussi le voir comme ça.

Mais le message d'Erico est juste, prends le temps de le relire...

par **mydoudouitsk** » 29 Nov 2010, 22:01

Justement je ne comprends pas du tout la réponse d'Ericovitchi, comment peut on faire des sots de

si on a une suite de nombre impaires, 1, 3 ,5 , 7
si on me dit que la raison est

, on peut ecrire que la suite de k=0 à 7 est

Non je ne vois pas le lien!

par **Ericovitchi** » 29 Nov 2010, 23:02

Bon, on va l'écrire autrement . javais posé

Donc là ça a bien la forme (

) (avec u=q²)
et

Donc

Mais il va falloir prendre la partie réelle de ça. donc multiplier par la quantité conjuguée du dénominateur. tu n'es pas au bout de tes peines.

par **Ben314** » 29 Nov 2010, 23:32

Ericovitchi a écrit:... Mais il va falloir prendre la partie réelle de ça. donc multiplier par la quantité conjuguée...

A la limite, une (petite) astuce qui peut s'utiliser fréquement c'est de noter que, quand on fait la somme de deux complexes de même module (par exemple la somme de

et de

), géométriquement, cela dessine un losange et la diagonale du losange (qui correspond à la somme des deux complexes) , c'est en fait la bissectrice de l'angle entre les deux complexes de départ.
Cela signifie qu'un argument de la somme de tes deux complexe s'obtient en prenant la moyenne des arguments des deux complexes de départ.

Exemple : un argument de

est

et un argument de

est

ce qui signifie que si on factorise

dans

, on devrait trouver un réel.
Et effectivement,

ce qui évite de multiplier par le conjugué.

par **Pythales** » 30 Nov 2010, 19:50

Pourquoi "complexifier" ?
L'expression s'écrit

par **mydoudouitsk** » 01 Déc 2010, 20:31

Ericovitchi a écrit:Bon, on va l'écrire autrement . javais posé

Donc là ça a bien la forme () (avec u=q²)
et

Donc Mais il va falloir prendre la partie réelle de ça. donc multiplier par la quantité conjuguée du dénominateur. tu n'es pas au bout de tes peines.

C'est excellent!
Merci je comprends mieux maintenant pour la suite!
merci vraiment!!!

En ce qui concerne la géométrie, je ne me souviens plus de la manière dont on construit un complexe sous forme exponentielle, pourriez vous me l'expliquer?

Cosinus et sinus

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