A*cos(w)+B*sin(w)=C Enigme !

[ckoi]

Bonjour,

Je suis devant une enigme concernant la solution de l'équation
A*cos(w) + B*sin(w) = C
La solution est w= arccos(C/ro) + alpha (en principe)
avec
ro = (A²+B²)^0.5
alpha = arctang(B/A)
avec la condition -1<= C/ro <= +1

Seulement voilà, j'ai utilisé Excel, et en confirmation Open Office pour vérifier.
Et voici l'enigme :
Je fixe A, B, C et je trouve w
J'entre w dans l'équation en reprenant A et B pour verifier C
Tout se passe bien sauf si A est negatif
Dans ce cas le resultat est oposé

Exemple :
A=2, B=5, C=3 > w= 124° et C vérifié =3
A=-2, B=5, C=3 > w= -12° et C vérifié = -3 au lieu de 3

Si je modifie B ou C par toutes valeurs respectant la condition, il n'y a pas ce problème.

D'ou vient donc cette enigme ?!

[emdro]

Bonjour,

ce n'est pas une bien grosse énigme:
Arccos(x) donne l'angle entre 0 et pi dont le cosinus est x. Il y en a une infinité d'autres, mais en particulier l'opposé de Arccos(x).
C'est à toi de prendre celui que tu souhaites, (en fonction du signe du sinus, par exemple).

Le raisonnement est
A*cos(w)+B*sin(w)=C

A/rhô*cos(w)+B/rhô*sin(w)=C/rhô

cos(alpha)*cos(w)+sin(alpha)*sin(w)=C/rhô
alpha étant un angle vérifiant cos(alpha)=A/rhô et sin(alpha)=B/rhô : voir message suivant.

cos(w-alpha)=C/rhô
Donc w-alpha=Arccos(C/rhô) [COLOR=Blue]+2k*pi ou w-alpha=-Arccos(C/rhô)+2k*pi[/COLOR]

w=Arccos(C/rhô)+alpha [COLOR=Blue]+2k*pi ou w=-Arccos(C/rhô)+alpha+2k*pi[/COLOR]

[emdro]

A propos du alpha:

Tu souhaites que cos(alpha)=A/rhô et sin(alpha)=B/rhô.
Or tu as posé alpha=Arctan(B/A).

Arctan(x) donne l'angle entre -pi/2 et pi/2 dont la tangente est x. Tu remarques que pour les angles de cet intervalle, le cosinus est toujours positif. Donc cos(Arctan(x))>0
Si A>0, alors A/rhô>0 donc on aura bien cos(alpha)=A/rhô
Mais si A<0, tu auras cos(alpha)=-A/rhô

Il faut donc poser non alpha=Arctan(B/A), mais:
*alpha=Arctan(B/A) si A est positif
*alpha=Arctan(B/A)[COLOR=Blue]+pi si A est négatif.[/COLOR]

[ckoi]

Parfait EMDRO,
Merci beaucoup.