"Enigme" avec les suites?

[Yozamu]

Bonjour à tous.

Pour la rentrée, je dois résoudre une "énigme", et je n'ai aucune idée de comment procéder.
Voilà l'énoncé:

Vous etes un prisonnier au centre d'un cercle de rayon 10m. Chaque minutes, vous devez annoncer la direction que vous souhaitez prendre.
Le gardien choisit, lui, le sens sur cette diretion. Vous avancez alors de 1m dans la direction et le sens finalement déterminés.
Avez vous une stratégie assurant que vous sortirez du disque? Si oui en combien de minutes?

Dejà que jai pas vraiment compris l'énoncé, alors pour le résoudre...

Merci d'avance

[DamX]

Hello,

Je ne la connaissais pas celle là, mais elle est marrante.

Le gardien (sauf s'il est débile ou qu'il fait mal son job) a intérêt à ce que tu restes en prison, il va donc, à chaque minute, après que tu lui aies donné une direction, choisir le sens qui "t'eloigne" le plus du bord du cercle.

Sachant cela, dessine la situation, un cercle avec toi au milieu, tu choisis au hasard (pour le premier coup tout est symétrique il n'y a pas de direction mieux qu'une autre) une direction, c'est a dire que tu traces une droite passant par toi (au centre) et coupant le cercle. Disons qu'elle est horizontale. Là le gardien va choisir une direction (au hasard aussi, la situation est toujours symétrique) et tu avances d'1m selon cette direction (disons vers la droite). Rien de bien passionant jusque là.

Maintenant on recommence, trace des directions qui passent par ta nouvelle position, et observe que l'un des deux sens te rapproche du bord tandis que l'autre t'en rapproche moins voire t'en éloigne, et c'est ce sens que le gardien va choisir bien sur. Ceci dit, il existe une direction en fait pour laquelle quelque soit le sens choisi par le gardien, cela te rapproche de la même façon du bord, laquelle est-ce ?

Que se passe-t'il si à chaque étape tu choisis la direction qui vérifie cette propriété ? Quelle est la ta nouvelle distance au centre après le choix du gardien par rapport à l'étape précédente (suite récurrente) ?


Réponse final du problème pour que tu vérifies si tu as bien trouvé : 1h40min

Damien

[Yozamu]

Moi je dirais ça: si on est a un point M et que le cercle est de centre O, on doit choisir la direction perpendiculairement a la droite OM...
Ensuite comment traduire ça en terme de suites, je n'en ai pas la moindre idée! (en supposant évidemment que mon raisonnement tiens la route..)

En tout cas merci de l'explication c'est deja beaucoup plus clair au niveau de l'énoncé.

[arnaud32]

c'est en effet le seul moyen pour que tu es symetrie entre les deux sens de deplacement.

tu vas donc te trouver ds un triangle rectangle avec les longueurs r_n r_{n+1} et 1

[DamX]

Moi je dirais ça: si on est a un point M et que le cercle est de centre O, on doit choisir la direction perpendiculairement a la droite OM...
Ensuite comment traduire ça en terme de suites, je n'en ai pas la moindre idée! (en supposant évidemment que mon raisonnement tiens la route..)

En tout cas merci de l'explication c'est deja beaucoup plus clair au niveau de l'énoncé.

C'est bien ça. Si M(n) est le point à l'étape n et r(n) = OM(n), comment est le triangle OM(n)M(n+1). relation entre r(n) et r(n+1) ?

[Yozamu]

J'arrive pas vraiment a visualiser..

[DamX]

J'arrive pas vraiment a visualiser..

Fais le dessin. Suppose qu'après n étapes tu es arrivé en M(n) (place M(n) n'importe où dans le cercle). Comme tu l'as dit la direction retenue est la perpendiculaire à OM(n), donc trace OM(n), puis la perpendiculaire passant par M(n), et choisit un des deux sens, et trace M(n+1) à une distance de 1 de M(n) sur cette droite. Trace bien le triangle défini par les 3 sommets 0, M(n) et M(n+1). quelle est la nature de ce triangle ? Quelle relation en déduis tu entre OM(n) et OM(n+1) ?

Indice : Pythagore est ton ami.

[Yozamu]

Ah oui!
Le triangle OM(n)M(n+1) est rectangle en M(n) c'est ça ?

Avec pythagore j'obtiens:
OM(n+1)²=OM(n)²+M(n)M(n+1)²
Or M(n)M(n+1)²=1 puisqu'on se déplace d'un mètre..
Donc OM(n+1)²=OM(n)²+1

Or ce sont des longueurs donc positives donc on fait la racine:
OM(n+1)=OM(n)+1

C'est bien ça ? ça revient a faire une suite U(n+1)=U(n)+1 donc suite arithmétique de raison 1 ....?

ça me semble un peu étrange comme solution. D'ailleurs, comment puis je trouver le temps final a partir de cette suite, en supposant qu'elle est juste?

[DamX]

je ne savais pas que :lol3:

Mais sinon à part ça tu as la bonne relation, si tu notes d(n) = OM(n)^2, tu as en effet d(n+1)=d(n)+1. donc d(n)= ?. et quel est le critère sur d(n) te disant si tu es sorti du cercle ou non ?

[Yozamu]

Ah, mince, quelle andouille.

Mais si c'est U(n+1)=racine(U(n)+1) je trouve ça encore plus étrange comme résultat, et je sais pas comment trouver 1h40

[DamX]

Ah, mince, quelle andouille.

Mais si c'est U(n+1)=racine(U(n)+1) je trouve ça encore plus étrange comme résultat, et je sais pas comment trouver 1h40

Reste au carré c'est tout

[Yozamu]

Ah, ouai, pas bete comme idée aussi.

Mais je ne comprends quand meme pas.

J'essaye de poser le truc.
Si on a U(n+1)²=U(n)²+1
Sachant que U(n+1) et U(n) sont des longueurs, je vois pas vraiment comment calculer le temps ni meme comment avoir un terme de la suite (hormis 0 pour le commencement et 10 à l'arrivée)

[DamX]

Ah, ouai, pas bete comme idée aussi.

Mais je ne comprends quand meme pas.

J'essaye de poser le truc.
Si on a U(n+1)²=U(n)²+1
Sachant que U(n+1) et U(n) sont des longueurs, je vois pas vraiment comment calculer le temps ni meme comment avoir un terme de la suite (hormis 0 pour le commencement et 10 à l'arrivée)

Oublie U(n) pour le moment, considère son carré. Pose d(n)=U(n)^2. relation de récurrence pour d(n) ? Donc d(n)=?

[Yozamu]

Ah non pitié pas de la récurrence...

J'ai jamais été fichu de réussir à en faire une..

Je sais vraiment pas faire.

[DamX]

Ah non pitié pas de la récurrence...

J'ai jamais été fichu de réussir à en faire une..

Je sais vraiment pas faire.

Euh.. Par relation de récurrence j'entendais juste
d(n+1)=U(n+1)^2=U(n)^2 + 1 = d(n)+1 ...

Donc d est une suite ... ? De terme général ... ?

[Yozamu]

Je l'avais mis sur mon brouillon, mais comme je pensais qu'il fallait faire un raisonnement par récurrence et que je sais pas faire..

d est une suite arithmétique de raison 1
Et donc le terme général est: d(n)=d0+n ...?
Mais si d(n)=Un² alors d0=U0²=0 non? Donc d(n)=n ...
Je sens que j'ai encore faux;

[DamX]

Je l'avais mis sur mon brouillon, mais comme je pensais qu'il fallait faire un raisonnement par récurrence et que je sais pas faire..

d est une suite arithmétique de raison 1
Et donc le terme général est: d(n)=d0+n ...?
Mais si d(n)=Un² alors d0=U0²=0 non? Donc d(n)=n ...
Je sens que j'ai encore faux;

Sisi c'est bon.

Ne peux-tu pas conclure ? n est le nombre "d'etapes", il y en a une par minute, et d(n) la distance a carré du centre. Quel est le n à partir duquel tu es en dehors du cercle ? Et donc combien de temps as tu mis à sortir ?

[Yozamu]

On est en dehors du cercle a partir de OM=10mètres(peut-on dire Un à la place de OM?) et donc à ce moment dn=10²=100 or dn=n donc n=100 minutes
Et donc n=1h40 !