Corps Commutatif

[paff]

Bonjour,

Je suis en cours du soir (informatique) et nous attaquons les espaces vectoriels, et là un problème se pose, les corps commutatifs, en cherchant sur wikipedia je trouve une définition pour un corps et pour la commutativité mais quand j'assemble ses deux définitions .... je comprend pas.

corps commutatifs => " En mathématiques, et plus précisément en algèbre générale, un corps commutatif est, en simplifiant, une structure dans laquelle il est possible d'effectuer des additions, des soustractions, des multiplications et des divisions."


Comment une soustraction ou une division peuvent être commutative ? o_o

[MouLou]

Ta définition c est un peu comme dire que le soleil c est ce machin brillant qui fait qu il fait jour et si il fait chaud. Ou l as tu trouvé? Un corps commutatif c est un anneau commutatif (cas dont la multiplication est commutative) dont tous les éléments non nuls sont inversibles pour la multiplication. Mais après fait savoir ce qu est un anneau, et pour savoir ce qu est un anneau il faut savoir ce qu est un groupe. Est-ce le cas? Sinon essaye de voir ça d abord et si tu n as pas le temps j essayerai de t explique simplement et plus clairement que ta définition.



Pour résumer, un corps commutatif, la multiplication et l addition sont commutatives, et tu peux tu diviser et soustraire

[zygomatique]

salut

soustraire un nombre c'est ajouter son opposé
diviser par un nombre (non nul) c'est multiplier par son inverse

tu devrais regarder la définition rigoureuse d'un corps ...

[beagle]

"Comment une soustraction ou une division peuvent être commutative ? o_o"

parce que commutatif cela ne signifie pas toujours commutatif
corps commutatif n'est pas loi commutative

et soustraction , division ne sont effectivement pas des lois commutatives,
mais ton titre est corps commutatif

donc faut pas commuter les commutatifs...

[beagle]

"Ta définition c est un peu comme dire que le soleil c est ce machin brillant qui fait qu il fait jour et si il fait chaud. Ou l as tu trouvé?"

"En mathématiques, et plus précisément en algèbre générale, un corps commutatif est, en simplifiant, une structure dans laquelle il est possible d'effectuer des additions, des soustractions, des multiplications et des divisions."
c'est la phrase d'introduction de wikipedia sur corps commutatif

[paquito]

Un corps C est muni de 2 "opérations", la première, notée "+" qui est toujours commutative et la seconde, notée "x" qui est telle que tout élément de C-{0} est inversible et qui est distributive à gauche et à droite avec "+"; si de plus, on a toujours axb=bxa, C est commutatif; c'est le cas de R et de C.
Si tu veux des exemples de produits "x" non-commutatifs, tu prends des matrices carrées. :lol3:

[Robot]

Allez, j'y vais aussi de mon grain de sel.

1) Dans la littérature récente, le plus souvent un corps est toujours commutatif par définition (son produit est une loi de composition interne commutative). Quand le produit n'est pas commutatif, un anneau où tout élément différent de 0 a un inverse s'appelle "algèbre à division" ou "corps gauche".
2) L'exemple le plus célèbre d'algèbre à division est l'algèbre à division des quaternions.

[paquito]

Allez, j'y vais aussi de mon grain de sel.

1) Dans la littérature récente, le plus souvent un corps est toujours commutatif par définition (son produit est une loi de composition interne commutative). Quand le produit n'est pas commutatif, un anneau où tout élément différent de 0 a un inverse s'appelle "algèbre à division" ou "corps gauche".
2) L'exemple le plus célèbre d'algèbre à division est l'algèbre à division des quaternions.

Tout d'abord, merci pour le renseignement; toutefois, la "littérature récente" m'attriste énormément; ça me fait penser au verbiage débile des inspecteurs généraux d'E.P.S. terriblement complexés par le côté peu intellectuel de leur matière au point d'appeler un ballon de rugby un référentiel bondissant aléatoire, ou transformer apprendre à nager en apprendre à évoluer en milieux aérobie humide!!
Donc, je trouve le terme "algèbre à division" très laid et je continuerai à parler du corps des quaternions, fut il non commutatif et qui de plus n'a pas apporté grand chose. :marteau:

[Robot]

Quelques remarques : dans l'article original de Steinitz "Algebraische Theorie der Körper" (publié dans le Journal de Crelle en 1910 et qui est le coup d'envoi de la théorie axiomatique des corps), un corps a par définition une multiplication commutative. C'est aussi le cas dans "Moderne Algebra" de van der Waerden (le premier manuel de référence sur l'algèbre moderne, paru en 1930). Les algèbres à division sont appelées dans ce manuel "Schiefkörper" (corps gauche).
Le fait de réserver la terminologie de "corps" au cas où la multiplication est commutative est donc une tradition bien établie depuis le début de la théorie, et en général suivie dans la littérature anglo-saxonne ("Algebra" de S. Lang, "Algebra" de M. Artin ...).
Parler de "corps commutatif" est plutôt une exception française.

Quant au corps des quaternions, ton jugement "qui de plus n'a pas apporté grand chose" est vraiment à l'emporte pièce et plutôt la marque d'une méconnaissance. Sans parler de tout ce qui concerne les algèbres centrales simples, on voit que tu ne t'es pas frotté à l'étude du groupe des déplacements dans l'espace !

[paquito]

Quelques remarques : dans l'article original de Steinitz "Algebraische Theorie der Körper" (publié dans le Journal de Crelle en 1910 et qui est le coup d'envoi de la théorie axiomatique des corps), un corps a par définition une multiplication commutative. C'est aussi le cas dans "Moderne Algebra" de van der Waerden (le premier manuel de référence sur l'algèbre moderne, paru en 1930). Les algèbres à division sont appelées dans ce manuel "Schiefkörper" (corps gauche).
Le fait de réserver la terminologie de "corps" au cas où la multiplication est commutative est donc une tradition bien établie depuis le début de la théorie, et en général suivie dans la littérature anglo-saxonne ("Algebra" de S. Lang, "Algebra" de M. Artin ...).
Parler de "corps commutatif" est plutôt une exception française.

Quant au corps des quaternions, ton jugement "qui de plus n'a pas apporté grand chose" est vraiment à l'emporte pièce et plutôt la marque d'une méconnaissance. Sans parler de tout ce qui concerne les algèbres centrales simples, on voit que tu ne t'es pas frotté à l'étude du groupe des déplacements dans l'espace !

Désolé, les quaternions ont été très décevants! Quant au groupe des déplacements dans l'espace, je l'enseignais en détail en 1981 en T° E. Un peu de modestie te ferait le plus grand bien!

[MouLou]

Clash des papes de l'algèbre!

[Robot]

Désolé, les quaternions ont été très décevants! Quant au groupe des déplacements dans l'espace, je l'enseignais en détail en 1981 en T° E. Un peu de modestie te ferait le plus grand bien!

Tu enseignais alors sans doute l'utilisation des quaternions pour décrire les rotations de l'espace, et des quaternions duaux pour les déplacements ?

[paff]

Donc si j'ai bien compris un anneau c'est un ensemble possédant deux lois internes et un élément neutre:
lois internes 1: Distributivité x.(y+z) = x.y + x.z
lois internes 2: Associativité x.(y.z) = (x.y).z

Pourquoi avoir appelé ça un "anneau" ?

ps: désolé pour le temps de réponse

[paquito]

Donc si j'ai bien compris un anneau c'est un ensemble possédant deux lois internes et un élément neutre:
lois internes 1: Distributivité x.(y+z) = x.y + x.z
lois internes 2: Associativité x.(y.z) = (x.y).z

Pourquoi avoir appelé ça un "anneau" ?

ps: désolé pour le temps de réponse

Les premiers anneaux étaient cycliques comme Z/nZ , comme on tourne en rond, c'est peut être l'origine de ce terme (à vérifier quand même).

[Robot]

Donc si j'ai bien compris un anneau c'est un ensemble possédant deux lois internes et un élément neutre:
lois internes 1: Distributivité x.(y+z) = x.y + x.z
lois internes 2: Associativité x.(y.z) = (x.y).z

C'est une définition pas mal tronquée ! Il manque beaucoup de choses.

Les premiers anneaux étaient cycliques comme Z/nZ , comme on tourne en rond, c'est peut être l'origine de ce terme (à vérifier quand même).

Non, les premiers anneaux n'étaient pas cycliques. Il semble bien que le terme "anneau" (en fait, "Ring" en allemand) soit apparu pour la première fois dans le rapport de David Hilbert sur la théorie des corps de nombres algébriques (1897), pour désigner les anneaux d'entiers algébriques dans ces corps de nombres. On pourra regarder avec profit la page wikipedia en anglais qui donne quelques hypothèses sur les raisons ayant pu pousser Hilbert à utiliser la terminologie "Ring".

[paquito]

C'est une définition pas mal tronquée ! Il manque beaucoup de choses.



Non, les premiers anneaux n'étaient pas cycliques. Il semble bien que le terme "anneau" (en fait, "Ring" en allemand) soit apparu pour la première fois dans le rapport de David Hilbert sur la théorie des corps de nombres algébriques (1897), pour désigner les anneaux d'entiers algébriques dans ces corps de nombres. On pourra regarder avec profit la page wikipedia en anglais qui donne quelques hypothèses sur les raisons ayant pu pousser Hilbert à utiliser la terminologie "Ring".

Si tu avais fait un peu de boxe anglaise, tu te serais rendu compte qu'un "ring" peut être rectangulaire!

[paff]

Je viens de tomber sur une définition qui est peut être plus exacte:

Soit A un ensemble non vide muni de deux lois de composition interne notée +(addition) et . (une multiplication)

On dit que (A,+, . ) est un anneau si :
- (A, +) est un groupe commutatif (ou groupe Abélien)
- la loi . est associative
- la loi . est distributive par rapport à la loi +

si la loi . est commutative, on dit alors que l'anneau A est unitaire.
si il existe un élément neutre pour la loi . , on dira alors que A est un anneau unitaire.


donc si cette définition est exacte un corps commutatif est un anneau unitaire cars la loi . est commutative ?

[MouLou]

Oui c'est ça, et cet anneau est de plus un corps si tout élément non nul est inversible pour la loi .

[paff]

j'ai une définition de corps qui n'est pas tout à fait pareil

On appelle corps tout anneau non nul, où tout élément non nul admet un inverse.

[MouLou]

Tu as raison, la tienne précise certes que l'anneau est non nul, (et il faut préciser qu'il est unitaire aussi si on veut etre vraiment maniaque). Mais elle précise pas pour quelle loi, moi oui :)

Edit: j'avais pas vu que dans le post d'avant tu proposais ta définition d'un corps, qui est fausse d'après ce que je dis dans mon message précédent