Corps commutatif

par **pilgrim** » 24 Fév 2010, 18:09

Bonsoir! Je dois montrer que l'ensemble A = {x+y*racine de 2 , x,y appartenant à Q} est un corps commutatif.
Je pense qu'il faut montrer que A est un anneau, donc vérifier les 5 axiomes puis que chaque élement non nul de A est inversible.
Cependant, je ne vois pas comment montrer ces 6 choses... Dois-je poser x1,x2, y1,y2 (et x3,y3 pour montrer l'associativité de la multiplication) ?
En fait je ne sais pas trop quelle méthode adopter...

Merci. Bonne soirée

par **Nightmare** » 24 Fév 2010, 18:12

Salut,

ben, tu as tout dit, il faut démontrer les 5 axiomes? Que disent-ils? Que faut il alors montrer?

par **pilgrim** » 24 Fév 2010, 18:19

1) Montrer que (A,+) est un groupe commutatif
2) Multiplication est associative
3) Le neutre sur la multiplication.
4) Multiplication distributive sur +
5) A est commutative si la multiplication l'est.

Ca ce sont les 5 axiomes de l'anneau.
Mais par exemple pour montrer l'axiome 2, je dois montrer que :
[(x1+y1V2)*(x2+y2V2)]*(x3+y3V2) = (x1+y1V2)*[(x2+y2V2)*(x3+y3V2)] ?

par **Nightmare** » 24 Fév 2010, 18:22

Oui, c'est exactement la définition de l'associativité !

Tu l'as compris, c'est un exercice où il faut "simplement" appliquer les définitions.

par **pilgrim** » 24 Fév 2010, 18:28

Ok très bien, merci ! Je vais m'y atteler :)

Bonne soirée!

par **Ben314** » 24 Fév 2010, 19:37

Salut,
Si ton cours contient la notion de "sous anneaux" ou de "sous corps", on peut nettement simplifier la preuve (il y a beaucoup moins de trucs à vérifier...)

par **pilgrim** » 24 Fév 2010, 20:46

Oui on parle une fois ou deux de sous-anneaux ! Que faut-il vérifier ?

Par contre, j'ai déjà commencé mon exercice, mais je n'arrive pas à montré que (A,+) est muni d'une lci.

par **Nightmare** » 24 Fév 2010, 20:49

(A,+) est munit bien sûr muni d'une lc, reste à montrer le "i", à savoir que la loi est interne. Que veut dire être "interne" pour une loi?

par **pilgrim** » 24 Fév 2010, 21:02

Qu'une application va de ExE -> E ?
Il faut montrer la stabilité ?

par **Ben314** » 24 Fév 2010, 21:29

pilgrim a écrit:Qu'une application va de ExE -> E ?
Il faut montrer la stabilité ?

C'est effectivement ça : il faut montrer que la somme [ou le produit, ou l'opposé ou l'inverse] d'un [ou deux] éléments de E est encore dans E.
C'est en fait ça la définition de sous-groupe, sous anneau, sous corps...

Tu as du constater que, par exemple, vérifier que l'addition est commutative sur ton ensemble A était... complètement "bidon" : c'est normal, les éléments de A sont des réels et on sait trés bien que l'addition sur R est commutative.

En résumé, les seules choses "pas évidentes" à montrer sont la stabilité des opérations (+ , x , opposé et inverse) pour montrer que A est un corps.
En fait tu aura montré que c'est un sous-corps de R.

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