Corps Commutatif

[paff]

On appelle corps tout anneau non nul, où tout élément non nul admet un inverse pour la loi .

Comme ça elle devrait être juste ?


Pour reprendre la définition de l'anneau peut on l'écrire comme ceci ?

On dit que (A,+, . ) est un anneau si :
- la loi + est commutative dans A
- la loi . est associative dans A
- la loi . est distributive par rapport à la loi + dans A

si la loi . est commutative, on dit alors que l'anneau A est unitaire.
si il existe un élément neutre pour la loi . , on dira alors que A est un anneau unitaire.

[Robot]

si la loi . est commutative, on dit alors que l'anneau A est unitaire.

Nan, on dit que l'anneau est commutatif.

[MouLou]

Je préférerai la version d'avant ou tu parlais de groupe (on y coupe pas)

[Robot]

Pour reprendre la définition de l'anneau peut on l'écrire comme ceci ?

On dit que (A,+, . ) est un anneau si :
- la loi + est commutative dans A
- la loi . est associative dans A
- la loi . est distributive par rapport à la loi + dans A.

Tu oublies de nouveau plein de choses !!!

[paff]

Je préférerai la version d'avant ou tu parlais de groupe (on y coupe pas)

On est d'accord un groupe commutatif c'est : tout groupe (A, *) tel que * soit commutative dans A ?
* peut être remplacé par + ou .

Nan, on dit que l'anneau est commutatif.

ok merci de la précision, je corrige ça tous de suite

[MouLou]

Oui certes, Mais ton énoncé est faux: car tu ne poses comme condition sur la loi + qu'elle soit commutative, or il faut qu'elle fasse de A un groupe commmutatif

[paff]

donc le "dans A" est de trop ?

[MouLou]

Non, ta définition ne parle pas du tout du fait qu'il faut que (A,+) est un groupe commutatif (ce que pourtant tu avais écrit dans ton post précédant!!!!)

"On dit que (A,+, . ) est un anneau si :
- (A, +) est un groupe commutatif (ou groupe Abélien)
- la loi . est associative
- la loi . est distributive par rapport à la loi +

si la loi . est commutative, on dit alors que l'anneau A est unitaire.
si il existe un élément neutre pour la loi . , on dira alors que A est un anneau unitaire."

Ca c'est quasiment exact, a part la coquille ici:
"si la loi . est commutative, on dit alors que l'anneau A est unitaire." ou il faut remplacer unitaire par commutatif

[paff]

je pense que ça doit être ma définition de de groupe commutatif qui doit être fausse ou du moins incomplète. Je vais chercher une définition plus correcte et je reviens. ^_^

[paquito]

On se fout complètement de la définition d'un anneau; on veut savoir pourquoi le terme anneau a été choisi!
Espace vectoriel de dimension n, on comprend, orthogonal aussi, mais anneau?

[paquito]

je pense que ça doit être ma définition de de groupe commutatif qui doit être fausse ou du moins incomplète. Je vais chercher une définition plus correcte et je reviens. ^_^

On dit aussi groupe abélien. C'est Klein qui a introduit la notion de groupe; le groupe de Klein a quatre éléments tous d'ordre 2, sauf 1 et est isomorphe au groupe des isométries laissant globalement invariant un segment et il est abélien.

[MouLou]

Pourquoi tu dis qu'on s'en fout complètement de ce qu'est un anneau? c'est lui que ça intéresse, c'est lui qui demande

[Robot]

C'est Klein qui a introduit la notion de groupe; le groupe de Klein a quatre éléments tous d'ordre 2, sauf 1 et est isomorphe au groupe des isométries laissant globalement invariant un segment et il est abélien.

Après les quaternions "qui ont été très décevants" et "les premiers anneaux [qui] étaient cycliques", voila une nouvelle fantaisie de paquito. La notion de groupe a émergé progressivement bien avant Felix Klein. Le mémoire de Galois par exemple, parlant de l'équation du quatrième degré, parle du "groupe de l'équation, qui contenait en tout vingt-quatre substitutions ...".
Rappel : Galois 1811-1832, Klein 1849-1925.
L'oeuvre de Klein sur l'utilisation des groupes en géométrie est certes fondamentale. Mais mettre en avant, comme contribution de Klein à la théorie des groupes, son pauvre Vierergruppe ... :ptdr:

PS : j'ajoute comme référence le mémoire de Cayley, On the theory of groups, as depending on the symbolic equation publié quand Klein avait 5 ans (en 1854).

[Robot]

Quant à la raison de l'appellation "anneau", il faut bien sûr la chercher du côté du terme "Ring" en allemand, puisqu'il s'agit d'une traduction de l'allemand. En allemand, le substantif "Ring" a parmi ses définitions :
"Organisation von Personen zu einem bestimmten Zweck : Der Weiße Ring setzt sich für die Belange von Verbrechensopfern ein. Kreisjugendring ein Ring von Drogenhändlern / Waffenschmugglern Spionagering "
Certains dictionnaires donnent comme synonyme pour cette acception "Vereinigung", c.-à-d. association.
Dans le mémoire de Hilbert où le terme "Ring" apparaît, c'est sous la forme de "Zahlring", qu'on pourrait ainsi traduire comme "association de nombres" ou péjorativement "gang de nombres". C'est vraisemblablement cette idée d'association ou de regroupement qui explique l'emploi du terme "Ring" par Hilbert. La démarche est au fond la même que pour le choix du terme "groupe".

[paff]

Dans le mémoire de Hilbert où le terme "Ring" apparaît, c'est sous la forme de "Zahlring", qu'on pourrait ainsi traduire comme "association de nombres" ou péjorativement "gang de nombres". C'est vraisemblablement cette idée d'association ou de regroupement qui explique l'emploi du terme "Ring" par Hilbert. La démarche est au fond la même que pour le choix du terme "groupe".

merci popur cette définition c'est plus clair :we:


Je pense avoir trouver une explication simple pour le groupe commutatif:

on pourrait traduire ça " (A, +) est un groupe commutatif (ou groupe Abélien)" par:
L'ensemble A est composé d'une loi interne + qui est commutative. ex: x+y = y+x

[MouLou]

non, (N,+) n'est pas un groupe (encore moins commutatif)

[paff]

non, (N,+) n'est pas un groupe (encore moins commutatif)

ça vient d'une définition comment ca peut être faux?

On dit que (A,+, . ) est un anneau si :
- (A, +) est un groupe commutatif (ou groupe Abélien)
- la loi . est associative
- la loi . est distributive par rapport à la loi +

[MouLou]

Pourquoi ne vas tu pas lire la définition d'un groupe une bonne fois pour toute?

[url]https://fr.wikipedia.org/wiki/Groupe_(mathématiques)#D.C3.A9finition[/url]

[paff]

d'après cette définition (N,+) est donc un groupe ...

[MouLou]

Absolument pas.... Y'a pas d'inverse...