Convergence uniforme de la "méthode de Héron"

[acteon2]

Bonjour, si on se fixe x>0 et qu'on pose f_0(x) = x et pour tout n, f_n+1(x)= 1/2 (f_n(x)+x/f_n(x)) , alors on a pas de mal à montrer que f_n(x) tend vers racine de x quand n tend vers + infini (suite récurrente classique).
Maintenant si on étudie la convergence uniforme de la suite de fonction (f_n) vers la fonction racine, sur tout segment pas de problème la réponse est oui. Sur un voisinage de +infini, en revanche, j'ai des doutes....à la fois la convergence de la méthode de Héron est rapide, et à la fois quand x est grand , on ne majore plus aussi facilement le |f_n(x)-sqrt(x)|. Je pencherais plutôt pour la non convergence uniforme mais j'ai du mal à la montrer. La suite n'étant pas explicite ce n'est pas facile de raisonner avec des contre-exemples, il faudrait plutôt minorer f_n(x) - sqrt(x) mais je n'arrive à rien de concluant.
Quelqu'un aurait il une idée?

[Ben314]

Salut,
Lorsque tend vers , est équivalent à (preuve par récurrence) donc tend vers et cela prouve que la suite ne converge uniformément vers sur aucun intervalle .

[acteon2]

Merci!