Convergence uniforme

par **dudumath** » 03 Déc 2007, 23:01

Montrer que la série de terme général un (x) = n exp( -nx) est uniformément convergente sur [a , + infini[ ( quelque soit a > 0 ) mais pas sur [ 0, + infinie [

Et calculer ;) n exp(-nx) ( n>=1 et x>0)

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voici que je pensais faire

en x = 0 un (x) = n donc lim un(x) (n->infini) = + infini
en x=a un (x) = n exp (-an) -> 0 ( quand n tend vers l'infini)

j'avoue que j'ai du mal avec cet exercice.

par **tize** » 03 Déc 2007, 23:23

Bonjour,
il me semble que ta série converge normalement sur

donc ...

par **klevia** » 03 Déc 2007, 23:24

Salut,
tu as raison sur [a,+inf[

donc la série CVN sur [a,+inf[
Pas de CVU sur [0; +inf [ car la limite n'est pas continue !!!

par **dudumath** » 03 Déc 2007, 23:26

si la série converge normalement alors elle converge uniformément sur [a, + infini[ car convergence normale implique convergence absolue mais comment montrer que la série converge normalement car ça ne saute pas non plus au yeux

par **Lierre Aeripz** » 03 Déc 2007, 23:29

Sur

, où est atteint le maximum de la fonction

? Peux-tu en déduire la valeur de la norme uniforme de cette fonction ?

par **kazeriahm** » 03 Déc 2007, 23:31

salut

la fonction u_n:x->n*e^(-n*x) est décroissante sur [a,l'infini[ donc sup|u_n|=n*e^(-n*a) et a>0 donc la somme des sup converge donc ...

pour calculer la somme, regarde ce qui se passe pour somme(e^(-n*x)) et essaye de trouvedr un lien entre ces deux séries

par **dudumath** » 03 Déc 2007, 23:47

la somme(e^(-n*x)) me fait penser à une série géométrique de raison exp(-x) donc avec la formule =1 - la raison puissance nbre de terme / 1 - raison

Je trouve : Somme un (x) = n *( 1 - exp(-x)^n) / (1- exp(-x)
Est ce juste?

par **Lierre Aeripz** » 03 Déc 2007, 23:53

C'est complètement faux... Comment veux tu qu'il te reste un 'n' dans la résultat alors que tu as sommé sur 'n' ?

par **nuage** » 03 Déc 2007, 23:55

Salut,
si

alors

.
Il faut ensuite dériver (avec la convergence normale) pour trouver la somme de ta série.
La somme ne peut pas dépendre de

qui est ici une variable muette.

par **dudumath** » 04 Déc 2007, 00:07

Suffit-il de dériver l'expression \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} e^{-n x} =\frac1{1-e^{-x}}. des deux cotés pour obtenir la somme des un(x) (qui ne dépendra pas de n) ?

par **nuage** » 04 Déc 2007, 00:10

Salut,

dudumath a écrit:Suffit-il de dériver l'expression . des deux cotés pour obtenir la somme des un(x) (qui ne dépendra pas de n) ?

Oui ça suffit, mais il faut le justifier.

par **dudumath** » 04 Déc 2007, 00:17

je trouve ;) un (x) = exp(-x) / (1 - exp (-x)² donc toujours >0

ce résultat est il convenable?

par **nuage** » 04 Déc 2007, 00:52

En effet et sauf erreur de ma part :

par **dudumath** » 04 Déc 2007, 01:01

Le seul petit Hic est que n est supérieure ou égale à 1

mais étant donné que pour n=0 un(x) =0, je pense que l'on peut commencer la somme pour n=1

par **nuage** » 04 Déc 2007, 01:07

Tu as raison, commencer à n=1 ou à n=0 c'est pareil.
Mais l"énoncé dit de commencer à 1. j'ai eu tort de commencer à 0.

A+

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