Convergence d'une intégrale

[ArtyB]

Bonsoir,

Petit problème de convergence, je ne sais pas trop quel raisonnement suivre pour résoudre cet exercice:

Etudier, pour , la convergence de l’ intégrale

en utilisant le fait que:
- converge, où a est un réel strictement positif
- converge, où b est un réel strictement positif

Je suis parti sur le fait que:
et si le membre de droite converge, il en est de même pour le membre du milieu.
Le membre de droite est une intégrale de Bertrand dont on fait une étude locale en posant h=1+x, x qui tend vers 0+
On a donc:
~h
Ensuite on étudie ensuite la convergence selon si beta est supérieur, inférieur ou égal à 1.

[alm]

Bonjour,
Outre le fait que tu n'avais pas utilisé les recommandations de l'énoncé, la comparaison avec l'intégrale de Bertrand ne permet pas de dire quelque chose si
Tu aurais du éviter l'étude au voisinage de si tu avais remarqueé que l'integrale en question est de même nature que
Indication: Utilise la relation :

[ArtyB]

Bonjour alm,
merci pour ta réponse.
Oui je sais bien, mais je ne savais pas comment les utiliser. Et je m'en suis rendu compte plus tard pour l'intégrale de Bertrand, en effet.
Comment ça j'aurais du éviter l'étude au voisinage de 1 si je l'avais remarqué ?
Merci de l'indication, je vais creuser en ce sens.

[zygomatique]

salut

à nouveau il n'y a aucun pb en 1 .....

le pb est le passage à l'infini ...

[ArtyB]

J'ai essayé de voir ce que l'on pouvait en faire de ce mais j'ai l'impression que ça complique surtout les choses. Quand on veut étudier l'intégrale ensuite c'est encore plus difficile de la décomposer je trouve

[Ben314]

Salut,
Comme les autres, je vois vraiment pas à quoi peut te servir le ln(t) que tu avais mis dans ta prose au début : tu majorerais on ne peut plus bêtement le sin^2 par 1, ça ferait la même chose et ça permet de conclure à la convergence dans le cas beta>1.
Sinon, de décomposer le sin^2 comme le préconise alm, ça te permet d'écrire ton intégrale comme somme de deux intégrales "connues" (via le rappel et le cours).
- Si elles sont toute les deux C.V. qu'en déduit-on ?
- Si une et une seule des deux est C.V. qu'en déduit-on ?
- Si aucune des deux n'est C.V. qu'en déduit-on ?

[aymanemaysae]

Je crois qu'à partir de là, vous pouvez conclure.

[ArtyB]

Le "ln(t)" n'était pas passé dans le LaTex de mon énoncé en fait, mais j'ai modifié mon message initial, on étudie:

Toutes mes excuses

[Ben314]

C'est toujours pas super clair : dans le message du début il y a maintenant du ln(t) dans l'énoncé, mais pas dans le message ci dessus...
Sinon, en LaTeX (et en MimeTeX), les fonction, c'est \sin, \cos, \ln, etc avec des "slash" qui font qu'elle ne sont pas dans la même fonte de caractère que les variables : sin(x)-> , \sin(x)->.

Là, avec le MimeTeX, c'est pas terrible comme différence, mais bon, c'est pas mal de s'habituer...

[ArtyB]

Oui en effet bizarre ce truc, j'ai modifié et ajouté un espace et ça marche...

Ah je ne savais pas que c'était avec des back slash pour ces fonctions, un grand merci ! Je ne sais pas si ça explique le fait que ça ne passe pas parfois.

[ArtyB]

@aymanemaysae
J'avais ça aussi mais du coup avec le ln(t) je n'arrivais pas à avancer plus loin

[Ben314]

Avec le ln, c'est effectivement un peu moins évident.
Partant de l'énoncé uniquement :
- En encadrant 0<=sin^2(t)<=1 tu en déduit la convergence de l'intégrale pour certaines valeur de beta (sauf erreur, c'est déjà fait)
- En minorant 1<=ln(t) (pour t>=e) puis en coupant en deux comme préconisé par alm tu va en déduire la non convergence de l'intégrale pour certaines valeur de beta.
Il me semble que tu aura au final tout les cas de figure.

[ArtyB]

Merci Ben314. Du coup on utilise l'inégalité:

et si le second membre converge il en est de même de celui du milieu. Donc on étudie la convergence du second membre pour différentes valeurs de beta.

Si beta=1, une primitive de est qui n'admet pas de limite en plus l'infini donc ça ne converge pas.

Si beta>1, on pose a>0 tel que
et on a:

Et comme , la limite en l'infini de
Il existe donc un réel X>0 tq pour tout t >X ona :

ie
Donc l'intégrale converge.

Si beta<1,

Or
Donc la limite en l'infini de
Il existe donc un réel X tq pour tout t >X on a:

ie

Donc l'intégrale diverge

[Ben314]

Oui, c'est bon (en fait tu es presque en train de (re)faire l'étude des intégrales de Bertrand donc si tu les a déjà vu en cours, c'est peut-être pas utile de le refaire...)
Sauf là :

Si beta=1, une primitive de est qui n'admet pas de limite en plus l'infini donc ça ne converge pas.

où ta primitive n'est pas bonne, mais je pense que c'est une faute de frappe vu que la fin de la phrase "ne colle pas" avec cette primitive (le truc que tu as écrit comme primitive admet une limite en +oo)

[ArtyB]

Oui il y a un t de trop au dénominateur, désolé, c'est la primitive et ça n'admet pas de limite en l'infini donc l'intégrale ne converge pas.
Et oui j'ai vu les intégrales de Bertrand, mais je ne sais jamais quoi écrire ou pas pour être sûr que rien ne manque à mon raisonnement