Convergence de suite

par **Aspx** » 29 Juin 2008, 15:16

Bonjour !

On définit la suite

par
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Montrer que

converge et calculer sa limite.

Bon déjà si elle converge, c'est vers

ou

vu la forme de la récurrence. Ensuite pour montrer la convergence j'ai pensé à la croissance et au caractère borné. La croissance me semble immédiate sur des exemples simples mais j'ai du mal à le démontrer...

J'ai pensé à l'inégalité (qui vient de la concavité de racine)
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[/CENTER]

Mais cela ne me donne pas grand chose... J'obtiens
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Des idées ? :id:

par **Quidam** » 29 Juin 2008, 16:15

Aspx a écrit:Bonjour !

On définit la suite par
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Montrer que converge et calculer sa limite.

Bon déjà si elle converge, c'est vers ou vu la forme de la récurrence. Ensuite pour montrer la convergence j'ai pensé à la croissance et au caractère borné. La croissance me semble immédiate sur des exemples simples mais j'ai du mal à le démontrer...

J'ai pensé à l'inégalité (qui vient de la concavité de racine)
[CENTER][/CENTER]

Mais cela ne me donne pas grand chose... J'obtiens
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Des idées ? :id:

Donc si

alors

et
si

alors

Cela ramène la question aux deux premiers termes

et

et je suppose qu'il y a plusieurs cas de figure, y compris des cas où ce raisonnement ne mène à rien. C'est juste pour faire avancer le schmilblick...

par **Aspx** » 29 Juin 2008, 16:49

Quidam a écrit:
Donc si alors et
si alors

u_{n+1} et u_{n-1} ne sont pas deux termes consécutifs, j'ai pas l'impression que la monotonie puisse se démontrer par récurrence...

par **Aspx** » 29 Juin 2008, 16:53

Pas bête Quidam. J'ai une indication sinon :

Montrer que pour tout entier

,

et

existent.

par **Quidam** » 29 Juin 2008, 17:24

Aspx a écrit:Pas bête Quidam. J'ai une indication sinon :

Montrer que pour tout entier , et existent.

Donc si

et

sont tous deux plus petits que 4,

aussi.
Et si

et

sont tous deux plus grands que 4,

aussi.

Si ça peut t'aider...

par **Aspx** » 29 Juin 2008, 17:44

Pas mal du tout la factorisation :id:
Pour l'inf il est minoré par 0 de façon évidente. Il faut donc montrer qu'il existe forcément deux termes consécutifs plus petit que 4, c'est bien ça ? On aurait donc l'existence du sup. La suite serait donc bornée. Manque donc la monotonie...

par **Quidam** » 29 Juin 2008, 23:07

Aspx a écrit:Pas mal du tout la factorisation :id:
Pour l'inf il est minoré par 0 de façon évidente. Il faut donc montrer qu'il existe forcément deux termes consécutifs plus petit que 4, c'est bien ça ? On aurait donc l'existence du sup. La suite serait donc bornée. Manque donc la monotonie...

Je n'ai pas dit ça !

Jusqu'à ce que tu ais démontré le contraire, je considère qu'il est possible que tous les termes soient plus grands que 4 ! Mais si dans ce cas tu peux montrer que la suite est décroissante, tu arriveras également à tes fins.

Dans le cas où tous les termes seraient plus petits que 4, il n'est pas démontré que la suite est croissante, ni décroissante ! Si tu arrives à démontrer l'un des deux, tu es sauvé, sinon...

par **ThSQ** » 30 Juin 2008, 17:20

Par récurrage

pour n > 1

Par récurritude :

Convergence de suite

Convergence de suite

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