Convergence presque sûre d'une série

[Nanos]

Bonjour à tous,

j'ai pas mal hésité avant de venir poser ma question, je voulais y arriver seul mais je dois me résigner après 4 heures d'essais. Voici la question :

"Montrer que pour une suite de variables aléatoires indépendantes suivant la loi de Laplace, la suite de terme général converge presque sûrement vers une limite S (on pourra calculer pour tout )."

Je ne vois absolument pas comment faire. A mon arc j'ai seulement les théorèmes suivants :

- Les deux lemmes de Borel-Cantelli (qui supposent qu'on connait la limite)
- Loi forte des grands nombres

J'ai essayé de me ramener à ces deux théorèmes mais bof. L'indication entre parenthèses m'a donné :



et ainsi :



mais ça ne m'avance pas non plus. Je suis vraiment vraiment nul en proba, et je suis un peu désesperé pour le coup. Auriez-vous des pistes ? Merci d'avance.

[Nanos]

Je n'ai toujours rien trouvé.
Je précise aussi :

si la loi d'une variable aléatoire X est une loi de Laplace, alors elle a pour densité par rapport à la mesure de Lebesgue

[GaBuZoMeu]

Que dit Borel-Cantelli sur la probabilité qu'il y ait une infinité de tels que ?
Et s'il n'y a qu'un nombre fini de tels que , que peux-tu dire de la série de terme général ?

[Nanos]

Vu ! Merci beaucoup, c'était finalement pas compliqué (l'habitude d'utiliser B-C avec des inégalités où le membre à droite est fixé).

Bonne journée.

[GaBuZoMeu]

Avec plaisir.