Convergence normale d'une série de fonctions

[ludovic44]

Bonjour, je sèche sur cet exercice qui provient du Gourdon page 226.

Soit définie sur pour tout par .

Le but est de prouver que , pour , converge normalement sur .

Voici ce que je ne comprends pas: il est écrit que, , , .

Or, pour moi, cette majoration n'est vraie que si car dans le cas contraire, une étude du signe de sur montre que admet un maximum en et que ce max est égal à (et qu'il n'y a donc pas convergence normale).

Merci d'avance pour votre aide

[Ben314]

Salut,
Certes le maximum de Un sur [0,+oo[ est obtenu en x=n (et vaut 1/n), sauf que là, ce dont le corrigé te parle, c'est d'un majorant de Un sur [0,M[ qui, lorsque n>M, s'avère être plus petit petit que le max sur [0+oo[.
Bref, sur deux intervalles différents, les maximums d'une même fonctions peuvent évidement ne pas être les mêmes.

[ludovic44]

Bonjour, merci pour ta réponse

Oui, mais de ce fait, cette phrase (ci-dessous) est fausse non ?

, , .

En effet, cette majoration ne fonctionne pas quel que soit n dans , il faut que n>M ?

[Ben314]

Ben si, ça marche tout le temps et c'est même la majoration triviale de Un lorsque x est entre 0 et M vu que le numérateur est majoré par M et que le dénominateur est minoré par n^2.
Après, effectivement, une étude de fonction permet de faire un peu mieux comme majoration, mais vu que ce n'est pas utile, autant se contenter de cette majoration un peu grossière.

[ludovic44]

Bonjour,

Ah oui désolé, j'ai confondu le max (1/2n) et le majorant proposé (M/n²).
Merci encore !