Continuité uniforme et prolongement.

[Nightmare]

Bonsoir à tous :happy3:

Voici un exercice dont la solution ne me vient pas (il y a des fois comme ça où ça bloque )

Le voici :

Soit A une partie dense de et uniformément continue. Montrer que f admet une unique prolongement à uniformément continu.

Une idée?

Merci aux participants.

:happy3:

[kazeriahm]

salut

l'unicité est simple à montrer (si g et h sont deux fonctions continues sur E et égales sur une partie dense dans E, alors g=h)

il reste à construire le prolongement

on se donne un point x de R. Il existe une suite (x_n) d'éléments de A qui converge vers x.

Essaye de montrer que la suite f(x_n) est de Cauchy.

[klevia]

Salut, je participe en toute modestie ...
Peut etre ne vais-je dire que des bétise ?

f peut-elle admettre 2 prolongement par continuité sur IR ?
Il me semble que non !!

Donc la question ne serait-elle pas plutot:
Montrer qu'il existe g uniformément continue sur IR telle que pour tout x appartenant à A f(x)=g(x).

Je sais pas si ça t'aide mais je chercherais plutot vers là ...
J'ai dit des bétises ou pas ?

[Nightmare]

Oui oui bien sûr ce n'est pas l'unicité qui est un problème mais l'existence.

Je vais creuser de ce côté là Kazeriahm.

Merci de vos réponses en tout cas.

:happy3:

[ThSQ]

On peut prolonger f à IR par densité. f(x) = lim f(x(n)), x(n) € A -> x qd n -> +oo
Faut montrer que f(x) ne dépend pas du choix de x(n) (à mon avis, je vois pas comment sauter cette étape :doh:, mais c'est facile).

Reste à montrer qu'elle est unif C°

x = lim x_n
y = lim y_n

|f(x) - f(y)| <= |f(xn)-f(x)| + |f(xn)-f(yn)| + |f(yn)-f(y)|

Il existe d tq |xn - yn| < d pour n > n0 => |f(xn)-f(yn)| < e
Les 1er et 3ème termes -> 0 par construction.