Continuité d'une fonction

[Pikachue]

Bonjour,

J'ai une petite question de continuité. J'ai cette fonction :


où F est de classe C1, appartient à [0;1].

Je veux montrer que la fonction est continue en 0, pour ça on dit que


Et donc

Ceci tend vers en 0.

C'est peut-être une question bête, mais pourquoi ceci nous dit que la fonction est continue en 0? Est-ce que c'est parce que la limite existe, et est un nombre réel (et pas l'infini)?
Je préfère demander que de laisser planer le doute.

[chombier]

Bonjour,

J'ai une petite question de continuité. J'ai cette fonction :


où F est de classe C1, appartient à [0;1].

Je veux montrer que la fonction est continue en 0, pour ça on dit que


Et donc

Ceci tend vers en 0.

C'est peut-être une question bête, mais pourquoi ceci nous dit que la fonction est continue en 0? Est-ce que c'est parce que la limite existe, et est un nombre réel (et pas l'infini)?
Je préfère demander que de laisser planer le doute.

g n'est pas définie en 0, donc elle n'y est pas continue. En revanche elle est définie au voisinage de 0 donc une question légitime est : est-elle prolongeable par continuité en 0, c'est à dire, est-ce que, quand x->0, g(x) admet une limite finie.

Or tu as montré que quand x -> 0, g(x) -> -F'(x)/pi

Donc en posant g(0) = -F'(x)/pi, on prolonge g par continuité, la fonction ainsi obtenue (la "nouvelle" fonction g définie en 0) est continue en 0.

Si la limite quand x->0 de g(x) n'existait pas, il n'aurait pas été possible de prolonger g par continuité en 0

[Pikachue]

D'accord. Merci de votre réponse.
Est-ce que, dans ce cas, j'ai le droit d'appliquer le lemme de Riemann-Lebesgue?
J'aimerais dire que la limite de quand n tend vers l'infini vaut 0, sachant que F est 1-périodique, et donc la limite en 1 est la même qu'en 0.

Le lemme précise bien que la fonction doit être continue sur tout l'intervalle. Donc il faut que je pose la nouvelle fonction, qui elle est continue en 0 et en 1, et là j'aurai bien la limite de l'intégrale plus haut qui vaut 0?

[zygomatique]

salut

on peut remarquer tout simplement que



qui tend vers le résultat que tu donnes ....

[Pikachue]

Bonsoir,

Certes, mais je ne vois pas trop où vous voulez en venir :/
Quel rapport avec le lemme de Riemann-Lebesgue?

[Pikachue]

Up.

J'aimerais juste une confirmation sur ce que j'ai écrit, pour pouvoir avancer s'il vous plaît :/