Continuité d'une fonction

[Rik95]

Bonsoir,


Comment puis je étudier la continuité de cette fonction : k(x) = [x] + racine(x-[x])
ou [x] est ma parti entière de x

Merci

[Monsieur23]

Aloha,

Déjà, qu'est ce que tu en penses ? Continue ou pas ?
Tu as essayé de la tracer ?

[Rik95]

Aloha,

Déjà, qu'est ce que tu en penses ? Continue ou pas ?
Tu as essayé de la tracer ?

Non je n'ai pas essayer de la tracer mais je pense qu'elle est continue car par exemple si je prend deux intervalle [0 , 1[ et [1, 2[ et que j’écris l'expression de k(x) dans ces 2 intervalles qui n'est pas la même a cause de la partie entière puis que je calcule la limite de k(x) quand elle tend vers 1 je trouve la même chose que k(1) mais je ne sais pas comment le montrer

[Monsieur23]

Non je n'ai pas essayer de la tracer mais je pense qu'elle est continue car par exemple si je prend deux intervalle [0 , 1[ et [1, 2[ et que j’écris l'expression de k(x) dans ces 2 intervalles qui n'est pas la même a cause de la partie entière puis que je calcule la limite de k(x) quand elle tend vers 1 je trouve la même chose que k(1) mais je ne sais pas comment le montrer

Ben tu peux le montrer en faisant le même raisonnement pour tout entier n :

au points non entiers, elle est clairement continue.
au poins entiers n, il te suffit de montrer que la limite à gauche et la limite à droite sont égales à k(n).

[Rik95]

je vois ce que tu veux dire mais comment puis je le rédiger ?

[Ben314]

- Pour tout réel x on a x>=[x] donc racine(x-[x]) est bien définie donc f(x) aussi.
- En tout point xo non entier, la fonction f est continue comme composée de fonctions continues (la fonction t->[t] est continue en xo non entier)
- Si xo=n est entier, alors f(n)=... ; la limite lorsque x tend vers n+ de f(x) est ... et la limite lorsque x tend vers n- de f(x) est ... donc f est continue en n.

[Rik95]

Merci, il y'a juste le 2eme point que je n'ai pas bien saisi, pourquoi si x0 est non entier la fonction est forcément continue ?

[Ben314]

Tu as aussi du voir que la fonction racine carré est continue sur son domaine de définiton.
Tu as du voir aussi (sinon, montre le, c'est très simple) que la fonction "partie entière" est continue en tout point xo non entier.
Enfin, tu as surement du voir en cours que, si f et g sont continues en xo, alors les fonctions lambda.f, f+g, f.g et f/g (si g(xo) est non nul) sont continues en xo, ainsi que le fait que, si une fonction u est continue en xo et qu'une fonction v est continue en u(xo), alors la composée vou est continue en xo.

Tout ça te "vend" sans aucun calculs que ta fonction f est continue en tout point xo non entier.

[Rik95]

Tu as aussi du voir que la fonction racine carré est continue sur son domaine de définiton.
Tu as du voir aussi (sinon, montre le, c'est très simple) que la fonction "partie entière" est continue en tout point xo non entier.
Enfin, tu as surement du voir en cours que, si f et g sont continues en xo, alors les fonctions lambda.f, f+g, f.g et f/g (si g(xo) est non nul) sont continues en xo, ainsi que le fait que, si une fonction u est continue en xo et qu'une fonction v est continue en u(xo), alors la composée vou est continue en xo.

Tout ça te "vend" sans aucun calculs que ta fonction f est continue en tout point xo non entier.

Je vois thanks