Continuité

[MacManus]

Bonjour,

Je considère les 2 espaces vectoriels normés suivants :

(E,N) : espace des applications lipschitziennes de [0,1] dans R, muni d'une norme N (où avec et

: espace des fonctions continues de [0,1] dans R, muni de la norme infinie.

Question :

Comment puis-je montrer que l'application identité est continue (ou non !) entre (E,N) et ??

NB : sans utiliser l'équivalence (ou non !) des normes

C'est justement la raison pour laquelle je suis un peu sur la touche...
Merci beaucoup de bien vouloir m'aider.

[tize]

Bonjour,
l'identité est linéaire ! Montrer qu'une application linéaire est continue de dans c'est montrer qu'il existe une constante C telle que pour tout f, .
Dans ton exercice, cela est évident pour l'identité de (E,N) dans .
Dans l'autre sens tu peux trouver un contre-exemple avec une suite de fonction telles que et

[MacManus]

Oui effectivement on utilise la continuité concernant les applications linéaires ça m'est sorti de la tête. Dans mon exemple je peux prendre C = 1 logiquement. Je vais essayer de trouver un contre exemple ensuite...
Merci bcp!

[MacManus]

(E,N) : espace des applications lipschitziennes de [0,1] dans R, muni d'une norme N (où avec et

: espace des fonctions continues de [0,1] dans R, muni de la norme infinie.

J'ai représenté la suite de fonctions suivantes pour n>=1 :

, si
, si

1. Vérifier que
2. Calculer
3. les normes et sont-elles équivalentes sur E ?

1. Ici pour montrer que la suite de fonctions , je dois montrer qu'elle est Lipschitzienne, cad qu'elle est uniformément continue sur [0,1] pour la norme N, est-ce correct, existe-t-il un moyen plus simple ?

2. On a que mais comment déterminer ?

3. Je ne comprends pas bien le "sup" dans la norme N....

Merci de bien vouloir me guider

[jeje56]

Salut MacManus,

Pour la question 2, le sup est atteint quand le dénominateur est minimal donc on s'intéresse seulement à l'intervalle [0;1/n] :

le sup vaut donc

Cela devrait t'aider pour les autres : N( )=1+n
Donc les normes ne sont pas équivalentes (l'une tend vers l'infini alors que l'autre reste constante égale à 1)

[MacManus]

Ok je pensais aussi à un dénominateur le plus petit possible...merci Jeje56 je suis d'accord. Si quelqu'un a une indications pour la question 1.

Merci bcp!

[jeje56]

Je pense que tu devrais t'en sortir maintenant ;-)

Bon courage pour demain !!!

[MacManus]

Ouais merci tu as été de bons conseils!
bonne chance pour demain !!