Continuité

[leking]

Bonjour à tous,

j'ai un petit exo qui me bloque d'entrée :

Montrer que la fonction f : R sur R définie par
f de x égal 1 si x appartient à grand Q
f de x égal 0 si x n'appartient pas à grand Q
n'est continue en aucun point.

Comment puis-je le démontrer, dois-je avoir un raisonnement par l'absurde et dire oui il est continue par exemple en 1 (pour le premier)

merci

[Zebulon]

Bonjour,
cette fonction s'appelle la fonction caractéristique de grand Q. D'ailleurs, on peut toujours définir une telle fonction quel que soit l'ensemble.
As-tu déjà entendu le mot "densité"? Je suppose que oui, en cours, et dans ce cas c'est une application toute bête, à rédiger tout de même correctement avec des epsilon comme on fait en début de sup.
Bon courage et à bientôt,
Zeb.

[leking]

je dois démontrer la densité de Q dans R ???
je ne vois pas le rapport avec continuité ?
par definition : f est continue en a si la limite de f en a existe.
D'apres la densité, il n'y a pas de limite...
Je suis un peu perdu...

Doucement avec moi je reprends le cycle des études...

merci

[leking]

J'ai beau y reflechir mais je n'y arrive toujours pas.
J'ai essayé de reflechir sur la technique du saut de puce appliquée à la densité mais ca n'a rien donné.
Mon souci est que je n'arrive pas à trouver un lien de x (appartient à grand Q) avec la continuité un aucun point.
J'ai essayé de dire que x était la division de a par b appartenant à grand Z, mais cela n'a rien donné aussi,
est-ce que quelqu'un pourrait me donner la démarche à suivre : juste le début !!!

merci

[phenomene]

Bonjour,

Je ne sais pas ton niveau d'études, mais as-tu vu en cours la caractérisation séquentielle de la continuité (c'est-à-dire une caractérisation à l'aide de suites) ? La densité des rationnels dans les réels se traduisant par le fait que tout réel est limite d'une suite de rationnels, cela pourrait t'aider...

[leking]

Bon je n'arrive toujours pas à trouver le point de départ,
j'abandonne.
:cry:

[quinto]

Phenomene t'a déjà bien aidé.
Regarde ce qui se passe.
Imagine que f soit continue en Pi, alors par densité de Q dans R, il existe une suite de rationnelles qn qui converge vers Pi.
Notamment f(qn)=? et par continuité on a lim(f(qn))=?
Contradiction?
L'idée est que ce raisonnement se généralise à n'importe quel nombre x, autre que Pi. Il suffit juste de changer le mot pi par la lettre x;)
A+

[cesar]

utilise le fait que Q est dense dans R. Entre deux reels quelconques, on peut toujours trouver un rationnel.
donc si tu supposes f continue dans un zone quelconque, tu trouveras toujours un rationnel dans cette zone, ce qui contredit l'hypothese...

[leking]

Si j'ai bien compris :
dans n'importe quelle zone, il y aura toujours un reel qui sera la limite des nombres rationnels dans cette meme zone ?

En fait il faudrait, qu'il y ait que des nombres rationnels ou reels dans la meme zone pour qu'il y ait continuité, mais cela est impossible du fait de la densité de Q dans R ?

J'ai bien compris ?

[pianozik]

je dois démontrer la densité de Q dans R ???
je ne vois pas le rapport avec continuité ?
par definition : f est continue en a si la limite de f en a existe.
D'apres la densité, il n'y a pas de limite...
Je suis un peu perdu...

Doucement avec moi je reprends le cycle des études...

merci

Je trouve qu'il fallait te corriger une erreur en ce qui concerne la continuité
f est continue en a si la limite de f existe en a et égal à f(a), et d'ailleurs c'est la cas, a+ et a-, pour ton exercice je l'ai eu comme devoir du prof, et je dois aussi le faire, vu que je suis en terminale, je comprends pas la densité de Q dans R, mais bon, je voulais juste te signaler l'erreur, bonne chance.
En fait, si tu veux la suite de l'exo c'est la suivante : étudier la limite de f°f. Qu'est ce que vous en déduit ? La deuxième partie elle est facile à démontrer:we: