Continuité en 0 de : f(x+y)=f(x) + f(y)

[OoYoussef]

Bonjour
jai besoin daide sur la 2eme question de cet exercice svp. ( 1ere annee prepas mpsi )
Merci d'avance.
On fixe une fonction f :R;)R telle que: ;)(x,y);)R2 ,f(x+y)=f(x)+f(y).
On a montré que la fonction f est bornée sur l’intervalle [;)r,r] (avec r>0 ).
a)Montrer que, pour tout n;)N et pour tout x;)R, f(nx)=nf(x).
b)En revenant à la définition «en epsilon»,montrer que f est continue en 0.

[zygomatique]

salut

je ne pense pas que l'énoncé soit complet ....

[OoYoussef]

Mais si mais si ;)

[zygomatique]

a/ par récurrence ....

[OoYoussef]

a/ par récurrence ....

En fait, c est b) qui me pose un probleme :/

[BiancoAngelo]

Déjà, on sait ce que vaut f(0), puisqu'en remplaçant x et y par 0 on trouve...

Puis, vu qu'on a f(nx) = nf(x) pour tout x de R, si on prend x = 1/n...

Or la suite des f(1/n) va tendre vers...

Voilà des bribes :)

[Ben314]

Salut,
Je pense que la "partie incomplète" dont parle zygomatique, c'est là :

On a montré que la fonction f est bornée sur l’intervalle [;)r,r] (avec r>0 ).

J'ai de trés gros doute concernant le fait qu'on puisse montrer une telle chose avec comme seule hypothèse le fait que f(x+y)=f(x)+f(y)

Mais bon, pour faire la suite de l'exo, on s'en fout un peu de savoir quelle est l'hypothèse tu as omise.

[BiancoAngelo]

Salut,
Je pense que la "partie incomplète" dont parle zygomatique, c'est là :J'ai de trés gros doute concernant le fait qu'on puisse montrer une telle chose avec comme seule hypothèse le fait que f(x+y)=f(x)+f(y)

Mais bon, pour faire la suite de l'exo, on s'en fout un peu de savoir quelle est l'hypothèse tu as omise.

Comme f fonction d'une variable réelle à valeurs réelles, on peut résumer la continuité à prouver que les limites de f en x0 à gauche et à droite existent et sont égales.

f(x+1/n) = f(x) + f(1/n).

Or, la limite des f(1/n) est bien f(0) qui vaut 0 (par continuité de la fonction en 0).

Donc les f(x0+1/n) tendent bien vers f(x0).

Idem pour f(x-1/n) = f(x) + f(-1/n).

Du coup, vu qu'on a ça vérifié pour tout x, la fonction est bien continue partout, non ?

Et l'image d'un borné par une fonction continue...

[BiancoAngelo]

D'ailleurs, petite question, une fonction impaire définie en 0 est forcée d'être continue en 0, non ?

[Ben314]

Prenons (au hasard complet) pour et .

1) Que vallent (si elles existent) et ?

2) est-elle paire ? impaire ?

3) La fonction est-elle continue en 0 ?

Remarque supplémentaire, ça

... (par continuité de la fonction en 0).

lorsque l'on est en train de chercher a montrer que... la fonction est continue en 0... ben j'ai peur que ça ne soit pas un argument frappant... :--:

[BiancoAngelo]

Prenons (au hasard complet) pour et .

1) Que vallent (si elles existent) et ?

2) est-elle paire ? impaire ?

3) La fonction est-elle continue en 0 ?

Hmmm ouais, cette fameuse "sin(1/x)", ça faisait longtemps que je l'avais pas vue.

C'est un bon exemple comme ça que je voulais

Et si on s'interdit de définir la fonction sur des singletons mais que sur des segments de longueur non nulle ?

Par contre, ce que j'ai dit dans le post d'avant, c'est que ça doit être valable pour "toutes les suites tendant vers 0", c'est ça ? et pas que la "1/n", si je tire profit de ton exemple.

[BiancoAngelo]

lorsque l'on est en train de chercher a montrer que... la fonction est continue en 0... ben j'ai peur que ça ne soit pas un argument frappant...

Je sais bien, c'était pour essayer d'imaginer un chemin pour montrer la continuité partout et donc le côté borné.
Mais pas dans la logique de l'exo.

[Ben314]

Et si on s'interdit de définir la fonction sur des singletons mais que sur des segments de longueur non nulle ?

Ce qu'il faut voir (c'est pas toujours clair au sortir du Lycée), c'est qu'une telle phrase ne veut rien dire en math : une fonction, on peut la définir absolument comme on veut.
Et si ce que tu veut dire par là, c'est "et si on s'interdit de la définir autrement que comme composées de fonctions continues, il se passe quoi ?"
Alors, tu as la réponse dans ton cours : toute fonction composée de fonctions continues est continue.

Mais si tu m'autorise à écrire des "formules" contenant autre chose que des fonctions continues (par exemple la fonction "partie entière" qui n'est pas continue sur son ensemble de définition) alors il n'y a plus aucune raison que le résultat soit continu.

Bilan : Il faut petit a petit se défaire de ce point de vue "Lycée" qu'une fonction "normale" c'est "une formule" (surtout si tu n'accepte que des "formules" contenant des truc continus, dérivables, etc...)

Tient, si, je peut te donner un exemple d'une fonction qui n'est pas définie par plusieurs "cas" selon les valeurs de x, mais qui est... bien "pourrie" quand même : Pour tout réel x, on pose
Question : Montrer que les limites en question existent pour tout réel x et déterminer la valeur de f(x).

[Ben314]

Concernant l'exo, ce qu'il faut que tu montre, c'est que :

Si |f(x)|<=M pour tout x de [-r,r] alors, quelque soit l'entier non nul n,
on a |f(x)|
Puis que tu en déduise, à l'aide de la définition avec des epsilons, que f(x) tend vers 0 lorsque x tend vers 0.

[BiancoAngelo]

Ce qu'il faut voir (c'est pas toujours clair au sortir du Lycée), c'est qu'une telle phrase ne veut rien dire en math : une fonction, on peut absolument comme on veut.
Et si ce que tu veut dire par là, c'est "et si on s'interdit de la définir autrement que comme composées de fonctions continues, il se passe quoi ?"
Alors, tu as la réponse dans ton cours : toute fonction composée de fonctions continues est continue.

Mais si tu m'autorise à écrire des "formules" contenant autre chose que des fonctions continues (par exemple la fonction "partie entière" qui n'est pas continue sur son ensemble de définition) alors il n'y a plus aucune raison que le résultat soit continu.

Bilan : Il faut petit a petit se défaire de ce point de vue "Lycée" qu'une fonction "normale" c'est "une formule" (surtout si tu n'accepte que des "formules" contenant des truc continus, dérivables, etc...)

Tient, si, je peut te donner un exemple d'une fonction qui n'est pas définie par plusieurs "cas" selon les valeurs de x, mais qui est... bien "pourrie" quand même : Pour tout réel x, on pose
Question : Montrer que les limites en question existent pour tout réel x et déterminer la valeur de f(x).

Je ne pense pas que j'ai le point de vue "Lycée", je cherche à refaire dans ma tête tout le chemin de mon enseignement... J'ai fait des maths de bon niveau dans ma vie, hélas trop peu à mon goût.
Ces fameuses fonctions tordues, je les ai vues.

C'est presque vexant de lire ça

Je ne faisais que poser une vraie question mathématique... Et tu y réponds en me parlant de cette fonction "limite", avec une seule définition pour tout x, plutôt qu'une autre, que j'aimais moins pour essayer de contrecarrer l'intuition.

C'est un peu fort de prétendre savoir comment je pense :lol3:
Merci pour ton aide et ces exemples précieux toutefois.

[BiancoAngelo]

Et la fonction que tu as donnée, c'est bien une fonction f telle que f(0)=1 et 0 partout ailleurs ? :ptdr:

[Ben314]

Vraiment désolé. :cry: :cry:
En fait j'ai pas fait gaffe que c'était toi qui répondais et plus OoYoussef (1ere annee prepas mpsi...) donc je ne voulais en aucune sorte être vexant.

(re)désolé pour mon manque de tact.

[Ben314]

Et la fonction que tu as donnée, c'est bien une fonction f telle que f(0)=1 et 0 partout ailleurs ? :ptdr:

Non, en fait elle vaut 1 pour tout les x rationnels et 0 pour tout les irrationnels donc elle n'est continue... nulle part...

Si tu veut "juste" une discontinuité en 0, tu peut te contenter d'un truc du style

Alors qu'il y a un théorème (très compliqué) qui te vend que, si une suite de fonctions continues fn converge vers une fonction f alors f sera forcément continue en une infinité de point et l'exemple que je t'ai donné est un "classique" pour prouver qu'une limite simple de limite simple de fonctions continues peut être continue nulle part.

[BiancoAngelo]

Vraiment désolé.
En fait j'ai pas fait gaffe que c'était toi qui répondais et plus OoYoussef (1ere annee prepas mpsi...) donc je ne voulais en aucune sorte être vexant.

(re)désolé pour mon manque de tact.

Pas de souci, je regarde avec intérêt ton exemple de double limite, et on en reparle

Bonne soirée à toi !

[BiancoAngelo]

Oui c'est ce que je viens de voir, avec le n! qui fait qu'il va faire forcément prendre une valeur entière * Pi quand x est rationnel, et pas sinon (par définition des non rationnels).

C'est un super exemple de fonction ça, merci beaucoup :)