Continuité

[Ncdk]

Bonsoir,

J'avais un petit exercice scindé en deux partie, mais j'ai vraiment quelques soucis pour bien le comprendre et y répondre :

Partie 1 :

Soit une application telle que pour tout y appartenant à , l'application est continue sur ; il existe un tel que pour tous appartenant à ,

Montrer que f est continue sur

Partie 2 : (Indépendante de la partie 1)

Pour et A une partie de , on pose

1- Montrer que et que est une application uniformément continue.
2- Montrer que si A est fermée, un élément appartient à A si et seulement si

Mes débuts de réponse :

Partie 1 :

Si je comprends bien je dois en fait prouver que f est continue sur si tel que on a : ?

Partie 2 :

1- Pour montrer l'inégalité je sais pas trop comment partir, mais ce que je pense savoir, c'est que si on prouve ce qui est marqué, alors la fonction est 1-lipschitzienne, alors par définition elle est uniformément continue.

2- J'ai pas encore réfléchit, mais si je me trompe pas je dois en fait chercher :

non ?

[Ben314]

Salut,

Avant d'aller plus loin, je trouve que le ":" (deux points) de la phrase de la partie I) est un peu "piège à con" : ce qu'il y a d'écrit avant le ":" n'a rien à voir avec ce qu'il y a d'écrit aprés
=> mettre un ";" (point virgule) ou bien un "et" me semblerait nettement plus judicieux !!!

Concernant tes réponses :

Partie I) : je comprend pas à quoi tu répond vu que je vois pas où est située la question de cette partie (les deux trucs écrit, ce ne sont pas deux hypothèses ? si oui, oukélé la question ?)

Partie II) Pour démontrer le résultat, tu as uniquement besoin de l'inégalité triangulaire (et d'un peu maitriser la notion de borne inférieure). Fait un dessin avec un patatoïde quelconque pour A et deux points x et y à l'extérieur de A pas trop loin l'un de l'autre.
"la fonction est 1-lipschitzienne, alors par définition elle est uniformément continue." : Non, ce n'est pas "par définition", c'est un théorème. Trivial certes, mais un théorème quand même et comme ce n'est pas une équivalence (Lipschitzienne => uniformément continue mais la réciproque est fausse) on ne peut pas considérer que le théorème en question est une "définition".

Concernant ta dernière équivalence, c'est effectivement ce qu'on te demande de montrer et il y a une des implications totalement immédiate. L'autre demande une (petite) preuve.

[Ncdk]

J'ai rectifié les erreurs, simples recopiage faux concernant le ";" au lieu de ":"

Et il manqué la question, je me demande comment j'ai pu l'oublier x)

Pour la partie 2 :

1- On peut commencer par dire :

Mais j'arrive pas à expliquer la "suppression" de la borne inf.

2- La première implication, si je me trompe pas est évidente, enfin on suppose que Alors , on peut prendre x = a vu que , et donc

[Ben314]

Concernant l'exercice I), c'est du "coupage de epsilon", c'est à dire que tu part d'un point (xo,yo) de R² et d'un epsilon>0 fixé.
Tu écrit la définition du fait que la fonction x->f(x,yo) est continue en xo (c'est ta première hypothèse) puis tu utilise la deuxième hypothèse pour conclure en ce qui concerne les y "voisins" de yo.

Pour le II),

Mais j'arrive pas à expliquer la "suppression" de la borne inf.

ça ne va pas du tout : ton premier "inf", c'est un inf pris sur l'ensemble de tout les a dans A donc ce n'est pas une quantité qui dépend de a mais uniquement de x (et de l'ensemble A bien sûr) donc ta majoration par ||x-a|| ne veut absolument rien dire.
C'est exactement du même acabit que si tu écrivait et que tu mette du dans les points de suspension : c'est incohérent.

Ce que tu pourrait à la limite écrire, c'est que, si on fixe un point , alors (par définition de la notion de borne inférieure). De même sauf que ça veut dire que et tu ne peut pas ajouter avec l'autre inégalités vu qu'elle ne sont pas dans le même sens...
Comme ce n'est pas totalement évident à trouver, je te donne le début :

Pour tout , on a

donc, pour tout ,
. . .

Sinon, pour le 2), tu as effectivement fait l'implication "facile" dans laquelle on n'utilise pas l'hypothèse que A est fermé.
Il faudra (bien sûr) s'en servir pour la réciproque.

[Ncdk]

Concernant l'exercice I), c'est du "coupage de epsilon", c'est à dire que tu part d'un point (xo,yo) de R² et d'un epsilon>0 fixé.
Tu écrit la définition du fait que la fonction x->f(x,yo) est continue en xo (c'est ta première hypothèse) puis tu utilise la deuxième hypothèse pour conclure en ce qui concerne les y "voisins" de yo.

Pour le II),ça ne va pas du tout : ton premier "inf", c'est un inf pris sur l'ensemble de tout les a dans A donc ce n'est pas une quantité qui dépend de a mais uniquement de x (et de l'ensemble A bien sûr) donc ta majoration par ||x-a|| ne veut absolument rien dire.
C'est exactement du même acabit que si tu écrivait et que tu mette du dans les points de suspension : c'est incohérent.

Ce que tu pourrait à la limite écrire, c'est que, si on fixe un point , alors (par définition de la notion de borne inférieure). De même sauf que ça veut dire que et tu ne peut pas ajouter avec l'autre inégalités vu qu'elle ne sont pas dans le même sens...
Comme ce n'est pas totalement évident à trouver, je te donne le début :

Pour tout , on a

donc, pour tout ,
. . .

Sinon, pour le 2), tu as effectivement fait l'implication "facile" dans laquelle on n'utilise pas l'hypothèse que A est fermé.
Il faudra (bien sûr) s'en servir pour la réciproque.

D'accord, j'ai compris la subtilité sur les bornes inf, malheureusement on les a très peu travailler, pareil pour sup, max et min, donc comme j'en croise de temps en temps c'est une plait, je sais à quoi ça correspond, mais dans les exos un peu de réflexion ça pause un gros problème

, .

On a ça, mais je voulais savoir, quand on parle de norme, est-ce que ||y-x||=-||x-y|| vu que j'hésite autant demander.

Comme ça on pourrait arranger en

Après si on refait la même étude que tu as faite, précédemment à savoir pour le cas de on aurait : Pour tout , on a

Donc mais là je suis bloqué, enfin je vois juste pas comment avancer ni quoi faire de plus.

[Ben314]

||x-y||=||y-x|| et surement pas égal à son opposé. Naïvement parlant, la norme d'un vecteur, c'est sa "longueur" et ça ne risque pas d'être négatif. De plus, l'opposé d'un vecteur u a la même longueur que u.
Moins naïvement parlant, ça résulte de l'égalité ||lambda.u||=|lambda|.||u|| que doit férifier toute norme qui se respecte (c'est dans les axiomes).

Aprés, partant de là : , (et en oubliant surtout pas le qui est indispensable à la compréhension), tu utilise évidement la définition de la borne inférieure d'un ensemble, à savoir que c'est le plus grand minorant de l'ensemble en question.
Ici, l'inégalité dit que le réel qui ne dépend pas de a est un minorant de l'ensemble des réels de la forme avec donc que le plus grand minorant de cet ensemble (i.e. la borne inf.) est supérieur à , c'est à dire que
Pour conclure, il suffit alors de réécrire la même inégalité en échangeant x et y (et évidement en utilisant le fait que ||x-y||=||x-y||)

[Ncdk]

||x-y||=||y-x|| et surement pas égal à son opposé. Naïvement parlant, la norme d'un vecteur, c'est sa "longueur" et ça ne risque pas d'être négatif. De plus, l'opposé d'un vecteur u a la même longueur que u.
Moins naïvement parlant, ça résulte de l'égalité ||lambda.u||=|lambda|.||u|| que doit férifier toute norme qui se respecte (c'est dans les axiomes).

Aprés, partant de là : , (et en oubliant surtout pas le qui est indispensable à la compréhension), tu utilise évidement la définition de la borne inférieure d'un ensemble, à savoir que c'est le plus grand minorant de l'ensemble en question.
Ici, l'inégalité dit que le réel qui ne dépend pas de a est un minorant de l'ensemble des réels de la forme avec donc que le plus grand minorant de cet ensemble (i.e. la borne inf.) est supérieur à , c'est à dire que
Pour conclure, il suffit alors de réécrire la même inégalité en échangeant x et y (et évidement en utilisant le fait que ||x-y||=||x-y||)

Je crois avoir, compris, en fait, pour prouver la valeur absolue et il faut maintenant que je parte de et je dois arriver, en faisant un raisonnement similaire, que et la c'est immédiat le résultat non ?

[Ben314]

Tu n'as même pas besoin de faire "un raisonnement similaire" : tu as établi une formule valable pour tout x et tout y donc valable lorsque l'on écrit x à la place de y et y à la place de x.
Est-ce que tu pense qu'il faut faire "raisonnement similaire" pour expliquer que le discriminant de est sous prétexte que ce n'est pas les même lettres que d'habitude ?
Ben là, c'est pareil.
Le truc à bien comprendre (petit à petit), c'est la "puissances" des quantificateurs qu'on met devant certaines phrases : Si c'est vrai "pour tout x", ben ça veut dire... que c'est vrai pour y...