Continuité de f

[xNiicO]

Soit une fonction continue. Est-il nécessairement vrai (démonstration ou contre-exemple) que :

1) L'image par f d'un intervalle ouvert est un intervalle ouvert ?

Ma réponse : J'ai fait par contre exemple en utilisant la fonction cosinus.

L'image par f de la fonction cosinus continue sur est [-1;1[. Je voulais savoir si je me trompe pas

2) L'image par f d'une partie bornée est bornée ?

J'ai une idée mais je sais pas comment m'y prendre, déjà je voulais savoir si une partie bornée admet forcément pour intervalle [a;b] ? Ou alors peut-on trouver un intervalle du type bornée ]a;b] aussi, je pense notamment à la fonction inverse.

Car on nous demande bornée et pas fermé et bornée... je me pose donc la question.

3) L'image par f d'une partie non bornée n'est pas bornée ?

Si j'ai bien compris il faut que f soit du type ]a;b[ et que son image soit aussi du type ]c;d[ ?

4) L'image réciproque par f d'un intervalle est un intervalle ?

Je comprends pas bien l'image réciproque en fait.

[busard_des_roseaux]

bonjour,

pour le (1) ton exemple est valable
on envoie [ sur [-1;1] par le cosinus


le (2) est vraie.

ça tient au fait que l'image d'un compact est compacte.


(3) est faux ()

(4) est faux, l'image réciproque de par
est

c'est l'image directe d'un intervalle qui est un intervalle (cf TVI)
l'image d'un connexe est connexe, les parties connexes de R (d'un seul tenant) sont
précisemment les intervalles.

[xNiicO]

Pour la 2), si j'ai bien compris c'est une sorte de théorème en fait :) ?

Pour la 3), j'avais pas pensé à cette fonction, merci bien de l'astuce :)

Pour la 4), merci, je vais potassé l'image réciproque car elle me parait pas dur la question, juste la notion d'image réciproque :)

Merci :)

[busard_des_roseaux]

bonjour

pour la (2) oui

la définition d'un compact est la suivante (si mes souvenirs sont exacts)

c'est un espace topologique séparé , tel que
Pour tout recouvrement du compact par des ouverts , on peut en extraire un sous-recouvrement fini

dans un espace vectoriel normé (les ouverts y sont des réunions de boules ouvertes)
de dimension finie, les compacts sont les parties fermées bornées.
en dimension infinie, les boules fermées ne sont pas compactes (il y a "trop" de vecteurs de base)


ici, on prend un borné
on l'enferme dans un compact

puis
compacte
est donc bornée

[Ben314]

A la limite, si tu n'a pas vu la notion générale de compacts, tu risque d'avoir vu en cours que l'image par une fonction continue d'un intervalle fermé borné était elle même fermée borné.
C'est suffisant pour le 2) vu qu'une partie bornée n'est pas forcément un intervelle fermé borné, mais par contre elle est forcément contenue dans un intervalle fermé borné et ça te suffit pour conclure.