on munit R^d d'une norme ||.|| quelconque. Soit f:R^d dans R^d vérifiant pour tout x,y dans R^d,
||f(x)-f(y)||<=K||x-y|| pour un nombre réel K dans [0,1]. On dit que a dans R^d est un point fixe de f si f(a)=a
j'ai trouvé que f est continue;
je zappe la première partie
3) On suppose maintenant que K=1 et on rajoute l'hypothèse f(R^d) inclus dans B où B est la boule unité fermée de R^d. Pour n dans N* on définit une application fn par fn(x)=
3a) montrer grâce à la question précédente que fn possède un point fixe noté xn
c'est bon
3b) Expliquer pourquoi il existe une suite d'entiers nk strictement croissante telle que la suite
j'ai pensé à utilisé la définition d'un fermé, mais ca marche pas
3c) montrer que x=limxn est un point fixe de f
pas d'idée (je pense qu'il faut utiliser la question d'avant)
4) en déduire en prenant la norme
cos(y)=x
sin(x)=y
je connais la définition de
merci