Continuité

[zork]

bonjour,

j'aimerai montrer que la fonction est continue en (1,1,1)
en utilisant la définition de la continuité:
soit
|f(x,y,z)-f(1,1,1)|<=

mais comment majorer mon |x|?

merci

[arnaud32]

2xy-1-y²= -(y²-2xy+x²) + x²-1= -(x-y)²+(x+1)(x-1)
donc | f(x,y,z)-f(1,1,1) | =<1/2((x-y)²+|x+1|*|x-1|)
(x-y)² = ( (x-1) +(1-y) )² =< 2( (x-1)²+(y-1)²)

[Doraki]

|f(x,y,z)-f(1,1,1)|<=
mais comment majorer mon |x|?

Il faut majorer par des trucs qui tendent vers 0 en (1,1,1).
ton |xz| ne tend pas vers 0 en (1,1,1) donc il sert à rien. Il faut revenir à 2xz-(1+y²).

Fais un changement de variable x = 1+u, y=1+v, z=1+w, pour que ce soit un peu plus clair :

2xz-(1+y²) = 2+2u+2w+2uw-1-1-2v-v² = 2(u+w+uw-v)-v², et il s'agit donc de montrer que 2(u+w+uw-v)-v² tend vers 0 quand u,v,w tendent vers 0, ce qui n'est pas très difficile.

[zork]

j'ai compris le changement de variable
ce que je n'ai pas compris c'est ca:
il s'agit donc de montrer que 2(u+w+uw-v)-v² tend vers 0 quand u,v,w tendent vers 0

pourquoi u,v,w doivent tendre vers 0?
en faites, au départ, je pensais prendre (x,y,z) dans B((1,1,1),1) et majorer f(X,y,Z)-f(1,1,1)

[Doraki]

Tu dois montrer que f(x,y,z) tend vers f(1,1,1) lorsque x,y,z tendent vers 1,1,1

Donc en éccrivant la définition, tu dois montrer que

pour tout ;) > 0 il existe ;)>0 tel que pour tout x,y,z de R,
si |x-1|<;), |y-1|<;), et |z-1|<;), alors |f(x,y,z) - f(1,1,1)| < ;).

Si tu pars en cherchant à majorer |f(x,y,z) - f(1,1,1)| lorsque (x,y,z) est dans B((1,1,1),1) (bon là t'as pas précisé quelle distance on prend, mais on s'en fout elles sont équivalentes alors je dis que c'est la norme infinie),

ben ça revient à chercher, pour ;)=1, quels sont des ;) tels que la phrase "si |x-1|<;), |y-1|<;), et |z-1|<;), alors |f(x,y,z) - f(1,1,1)| < ;)." est vraie.
Donc disons que tu trouves après calculs et majorations que "si |x-1|<1, |y-1|<1, et |z-1|<1, alors |f(x,y,z) - f(1,1,1)| < 10." est vrai.
Ben tout ce que t'en conclus c'est que pour tout ;)>=10, il existe donc ;) (à savoir ;)=1) tel que blablabla.
Mais ça ne suffit pas à montrer que ça converge vu qu'il reste à montrer l'existence de ;) tel que blablabla pour tous les ;) dans ]0 ; 10[.

Après, u,v,w, c'est juste des noms pour x-1, y-1, z-1, c'est tout.

[zork]

merci de votre aide
donc en gros, dans ce type d'exercice, il faut toujours que le majorant tend vers 0

pourquoi utilise-t-on cette définition pour la continuité? elle ne sert à rien, on peut voir directement si la fonction est continue ou pas
Y-a-t-il des cas où cette définition sert?

[arnaud32]

comment peux tu le voir directement?

[zork]

c'est un produit de fonction continues (le dénominateur ne s'annule jamais)

[arnaud32]

oui et comment sai tu que le produit de deux fonctions continues est continu? pareil pour l'inverse d'une fonction ne s'annulant pas?

[zork]

j'ai vu ca en cours en tant que propriété

[arnaud32]

proprietes que tu as montre a partir de cette definition ....
la tu as juste remonter ca

[Maxmau]

pourquoi utilise-t-on cette définition pour la continuité? elle ne sert à rien, on peut voir directement si la fonction est continue ou pas
Y-a-t-il des cas où cette définition sert?

bj
pour x irrationnel > 0, je pose f(x) = 0
pour x rationnel > 0 (x=p/q avec p et q entiers naturels premiers entre eux) je pose f(x) = 1/q
montrer que f est continue en tout point a irrationnel