Continuité

[klaus2010]

Bonjour,
J'ai lu la suivante dans un livre
(E,||_E),(F,||_F) deux E.V.N. On dit que une application linéaire L : E vers F est continue si et seulement si ||L||= sup{|L(x)|_F ,|x|_E=1} est finie. En particulier, si E est de dimension finie alors toute application linéaire est finie.
Je voudrais un exemple qui clarifie ce qui en haut ! :mur:

merci d'avance

[arnaud32]

tu cherches quoi ?
un exemple application lineaire no continues?

[klaus2010]

Oui.............

tu cherches quoi ?
un exemple application lineaire no continues?

[arnaud32]

Soit E l’espace vectoriel des fonctions polynômes à coefficients réels
muni de la norme ||P|| = Sup_{0\leq t \eq 1} ( P(t))

La forme linéaire P -> P(3) n’est pas continue dans E
pour ca il suffit de regarder la suite des (t/2)^n

[klaus2010]

Soit E l’espace vectoriel des fonctions polynômes à coefficients réels
muni de la norme ||P|| = Sup_{0\leq t \eq 1} ( P(t))

La forme linéaire P -> P(3) n’est pas continue dans E
pour ca il suffit de regarder la suite des (t/2)^n

En fait je comprend pas, tu as mis au début 0\leq t \eq 1 puis tu as écrit P(3), vous pouvez clarifier votre réponse.
merci

[arnaud32]

Soit E l’espace vectoriel des fonctions polynômes à coefficients réels
muni de la norme ||P|| = Sup_{ t dans [0,1]} ( P(t))
La forme linéaire u: P -> P(3) n’est pas continue dans E
pour ca il suffit de regarder la suite des P_n avec P_n(t)=(t/2)^n

tu consideres donc l'ensemble des polynomes a coefficients reels qui est un R-ev
tu verifies que
||P|| est positif
||a*P||=|a|*||P||
||P||=0 ssi P=0
||P+Q||=<||P||+||Q||

tu consideres alors u qui va de ton Evn dans R (qui est lui meme un Evn)
u(P)=P(3)
tu verifies que u est lineaire

u(P_n)=P_n(3)=(3/2)^n dons u(P_n) diverge vers +oo
par contre ||P_n||=sup |P_n(t)| pour t dans [0,1] = (1/2)^n
donc ||P_n|| tend vers 0 et P_n tend vers le polynome nul dans E
et tuas P_n qui tend vers 0 mais u(P_n) ne tend pas vers u(0)

[klaus2010]

Soit E l’espace vectoriel des fonctions polynômes à coefficients réels
muni de la norme ||P|| = Sup_{ t dans [0,1]} ( P(t))
La forme linéaire u: P -> P(3) n’est pas continue dans E
pour ca il suffit de regarder la suite des P_n avec P_n(t)=(t/2)^n

tu consideres donc l'ensemble des polynomes a coefficients reels qui est un R-ev
tu verifies que
||P|| est positif
||a*P||=|a|*||P||
||P||=0 ssi P=0
||P+Q||=<||P||+||Q||

tu consideres alors u qui va de ton Evn dans R (qui est lui meme un Evn)
u(P)=P(3)
tu verifies que u est lineaire

u(P_n)=P_n(3)=(3/2)^n dons u(P_n) diverge vers +oo
par contre ||P_n||=sup |P_n(t)| pour t dans [0,1] = (1/2)^n
donc ||P_n|| tend vers 0 et P_n tend vers le polynome nul dans E
et tuas P_n qui tend vers 0 mais u(P_n) ne tend pas vers u(0)

Ok.. merci
plus précisément ||P|| = Sup_{ t dans [0,1]} |P(t)| au lieu de ||P|| = Sup_{ t dans [0,1]} ( P(t))

[arnaud32]

oui faute de frappe

[klaus2010]

oui faute de frappe

pas grave... merci encore fois!