Continuité

[Teatime]

Bonjour,

Voici l'énoncé d'un exercice sur lequel je bloque au niveau de la question 2 et 3 :

f(x) = si x appartient à 0 fermé, 1 fermé
f(x) = si x appartient à 1 ouvert 2 fermé

1. Montrer que f est continue sur 0 fermé 2 fermé et que :
- pour x appartenant à 0 fermé, 1 fermé f(x) appartient aussi a cette intervalle.
- pour x appartenant à 1 fermé 2 fermé f(x) appartient aussi à cette intervalle.

2. Pour tout entier n non nul on définit fn par :
f1=f
et si n est supérieur ou égal à 2,
Pour tout x appartenant à l'intervalle 0 fermé 2 fermé,
fn(x) = (f(rond)fn-1)(x)

Montrer que fn est continue sur 0 fermé, 2 fermé et que :
- Pour tout n appartenant à N(étoile), Pour tout x appartenant à 0 fermé 1 fermé on a : fn(x) = x^2n
- Pour tout n appartenant à N(étoile), Pour tout x appartenant à 1 fermé 2 fermé on a : fn(x) = 2-(2-x)^2n

3. On définit g par :

Pour tout x appartenant à 0 fermé, 2 fermé : g(x) =

Calculer g(x) et étudier la continuité de g sur 0 fermé 2 fermé.

Voici ce que je parviens à proposer :

1. . La fonction x est continue et positive sur [0,1] donc la fonction f est continue sur [0,1] ce qui signifie que f est continue sur ]0,1[, continue à droite en 0 et continue à gauche en 1.

La fonction x est continue et positive sur ]1,2] donc f est continue sur ]1,2] et continue à gauche en 2.

Et et =1= donc f est continue en 1.

2. Pour celle ci, je ne sais vraiment pas...

3. Pour celle là, je bloque même si je pense que ce qui suit n'est pas faux :
Pour x appartenant à (0,1( on a :
= 0
= 1
Ainsi que pour x appartenant à )1,2) on a
= 2

Mais bon je ne sais pas trop quoi faire ensuite...

Merci de votre aide !

[arnaud32]

en effet, la continuite de f sur [0,1[ et ]1,2] resulte du fait que sa restriction a ces intervalles est un polynome.
le seul point qui pose probleme est 1.
et la limite a gauche vaut la limtite a droite qui vaut elle meme la valur de f en ce point donc f est continue en 1

tu dois aussi montrer que f est stable sur [0,1] et [1,2]
ce qui est facile

2/ tu sais que f est stable sur [0,2] donc ta definition par recurrence a un sens
fn est continue se montre par recurence en utilisant le fait que la composee de deux fonction continues est continue

les ecritures de fn sur [0,1] et [1,2] se justifient par la stabilite de f sur ces intervalles d'une part et par une petite recurence.

3/ trouves tu que g a l'air continue, si oui ou? sinon ou?

[Teatime]

Donc finalement, pour la réponse 2., il suffit de faire deux récurrences montrant que chaque expression de fn est continue puis de conclure en disante que la composée de deux fonctions continues est continue... Ainsi, un récurrence du type suivant pour la premier expression est-elle correcte ?

Par exemple, pour l'expression fn(x)= x^(2n)
Pour tout n appartenant à N privé de 0 montrons par récurrence que : P(n) : fn(x)= x^(2n) est continue.
P(1) est vraie car : f1(x) = x^2
Soit n appartenant a N prive de 0, supposons P(n) vraie :
fn+1(x) = x^(2n+1)
= x^(2n) X x
Et P(n) continue donc P(n+1) continue aussi.

Par récurrence simple, on constate que P(n) est une fonction continue

Merci !

[arnaud32]

oui ton P(n) peut etre:

fn est continue sur[0,2]
et Pour tout x appartenant à [0,1]: fn(x) = x^2n
et Pour tout x appartenant à [1,2] : fn(x) = 2-(2-x)^2n